Задача 2-10.Р. Ток в цепи рис. 2.10 изменяется по закону i = I_msin ωt. Какое из приведенных выражений несправедливо, если U_L > U_C?

1. i = I_msin(ωt + φ)          2. u_L = U_mL sin(ωt + π/2)          3. u_r = U_mr sin(ωt)      4. u_C = U_mCsin(ωt + π/2).

Решение 2-10

Так как U_L > Uc, то X_L > X_C . В этом случае на­пряжение, приложенное к цепи, опережает по фазе ток i на угол φ.

Если ток в цепи изменяется по закону i = I_m sin ωt, то u  = U_msin(ωt + φ).

Напряжение на активном сопротивлении совладает по фазе с током:

u_r = U_rmsin ωt.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90°:

u_C = U_Cmsin (ωt – π/2).

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90⁰:

u_L = U_Lm sin (ωt + π/2) 

Задача 2-18. Р. Определить активное, индуктивное и полное сопротивления катушки из медного провода электромагнитного устройства (реле, электромагнита и т.п.) рис. 2.18, а при притянутом (l₀ = 0) и непритянутом (l₀ ≠ 0) якоре.

Дано l = 140 мм, l₂ = 60 мм, S= 4 см², эквивалентный воздушный промежуток при непритянутом якоре l_0экв = 12 мм, ω = 800, средняя длина витка катушки l_ср = 120 мм, сечение провода катушки S_np = 0,6 мм², f = 50 Гц. Кривая намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода В(Н) изображена на рис. 2.18, 6. Потоками рассеяния и выпучивания пренебречь. Предполагается работа на линейном участке кривой намагничивания. Указать неправильный ответ.

При l₀ = 0:     1. r = 2,8 Ом.           2. x_L = 200 Ом.              3. x = 200 Ом.

При l_0экв = 12 мм:       4. x_L = 8 Ом.            5. z = 10,8 Ом

Решение 2-18

1. Активное сопротивление катушки (оно не зависит  от значения воздушного зазора)

2. Индуктивность и индуктивное сопротивление катушки при l₀ = 0

x_L = 2π*f*L = 200 Ом.

3. Полное сопротивление катушки при l₀ = 0

4. Индуктивность и индуктивное сопротивление катушки при l = 12 мм

H₀l₀ + H_CTl_CT = B₀l₀/μ₀ + H_CTl_CT = I_w

При B = 1 Тл получим 12*10^-3/(1.256*10^-6) + 20*20=I*800;

I = 12,56 A;

L = ψ/I = B*S_CT*ω/I = 0.0255 Гн.

x_L = 2π*f*L = 8 Ом.

5. Полное сопротивление катушки при l₀ =12 мм
6. Отношение полных сопротивлений катушки при l=0 и l₀ =12 мм

Z _l0=0/Z _l0≠0 = 200/8.5 =23.5

С учетом потоков рассеяния и выпучивания индуктивное сопро­тивление катушки будет несколько больше.

Задача 2-25.Р. Определить индуктивность L катушки, используя результаты двух опытов:

а) когда катушка включена в сеть переменного тока с напряжением U=200 В и частотой f=50 Гц, ток в катушке I=4 A;

б) когда катушка включена в сеть постоянного тока с напряжением (U=200 В), ток в катушке I=5 A. Указать правильный ответ.

1. 0,2 Гн.         2. 0,4 Гн.          3. 1 Гн.     4. 0,1 Гн.          5. 0,8 Гн.

Решение 2-25

Полное сопротивление катушки определяется по показаниям приборов при включенной катушке в сеть переменного тока:

z = U/I =200/4 = 50 Ом.

Активное сопротивление катушки определяется по показаниям при­боров при включенной катушке в сеть постоянного тока:

r = U/I = 200/5 = 40 Ом.

Индуктивное сопротивление катушки ,

 следовательно, индуктивность L = x/(2π*f) = 30/(2*3,14*50) ≈ 0,1 Гн.

Задача 2-31.Р. В электрической цепи рис. 2.31 I = 5 А, f = 50 Гц, U₁ = 50 В, U₂ = 100 В,  U₃ = 60 В. Какие будут напряжения, если при том же токе 5 А частота возрастает до 100 Гц? Указать неправильный ответ.

1. U₁ = 50 В.       2. U₂ = 200 В.        3.U₃ = 30 В.    4. U = 280 В.

Решение 2-31

Увеличение частоты в 2 раза приведет к увели­чению в 2 раза индуктивного сопротивления и уменьшению в 2 раза емкостного сопротивления, так как x_L = 2π*f*L , x_C = 1/2π*f*C

Активное сопротивление практически не изменится.

При частоте f = 100 Гц напряжения на отдельных участках цепи составят:

на активном сопротивлении: U₁ = Ir = 5.50/5 = 50 В;

на индуктивном сопротивлении: U₁ = I*2x_L =  5*2*100/5= 200 В, где x_L - индуктивное сопротивление при f = 50 Гц;

на емкостном cопротивлении U₃ = 1₂х_с/2 = (5-60 /5) / 2 = 30 В, где х_с -  емкостное сопротивление при f=50 Гц.

Напряжение сети

Задача 2-40.Р. Характер нагрузки какой из цепей рис. 2.40 указан непра­вильно, если x_C = x_L = r?

1. Активно-индуктивный. 2. Активно-емкостный. 3. Активный. 4. Ак­тивно-емкостный. 5. Активно-индуктивный.

Решение 2-40

Характер нагрузки в данном случае наиболее просто определяется из соотношения индуктивной и емкостной реак­тивных мощностей цепи.

Для первой цепи Q_L =I²_Lx_L > Q_C = I²_Cx_C

так как I²_L = U/x_L > I_C = U/(r² + x² _C)^0.5

Следовательно, характер нагрузки цепи активно-индуктивный. Для второй цепи Q_C = I²_Cx_C > Q_L = I²_Lx_L   

В третьей цепи существует резонанс напряжений: Q_C = I²_Cx_C = Q_L  = I²_Lx_L, следовательно, характер нагрузки активный.

В четвертой цепи существует резонанс напряжений: Q_C = Q_L . Ха­рактер нагрузки активный.

Для пятой цепи Q_C = I²_Cx_C < Q_L  =  I²_Lx_L, так как

откуда I_L > I_C

Следовательно, характер нагрузки активно-индуктивный.

Задача 2-42.Р. Катушка, обладающая активным сопротивлением r =30 Ом и индуктивным  x_L = 40 Ом, подключена к сети переменного тока с на­пряжением U=100 В. Определить действующее значение ЭДС самоин­дукции Е, возникающей в катушке. Указать правильный ответ.

1. 100 В.         2. 40 В.         3. 80 В.       4. 90 В.         5. 10 В.

Решение  2-42

Электродвижущая сила самоиндукции в катуш­ке   по  модулю   равна напряжению   на   индуктивном   сопротивлении │E│=│U_L│.Ток в цепи

ЭДС индуктивной катушки │E│=│U_L│=│I*x_L│=2*40=80 В.

Задача 2-51.Р. Определить показания приборов цепи рис. 2.51. Указать не­правильный ответ.

1. I = 10 А.       2. U₂  = 200 В.        3. Р = 1000 Вт.         4. U₁ = 100 В.

Решение 2-51  

Сопротивление  z_АБ участка цепи аб можно оп­ределить с использованием проводимостей.

Проводимость

Сопротивление z_АБ = х_АБ = 1/b_АБ = -20 Ом. Знак минус указывает на емкостный характер сопротивления. Ток цепи

Показание вольтметра V₂

U₂ = Ix_L= 10*20 = 200 В.

Показание вольтметра V₁

U₁ = Ix_АБ =10*20 = 200 В.

Показание ваттметра равно активной мощности части цепи, распо­ложенной справа за точками в и г: Р = I² r  =10²*10= 1000 Вт.

Задача 2-59. Как изменятся показания приборов цепи рис. 2.59 при введении в катушку ферромагнитного стержня, если до и после введения X_C > X_L? Потерями мощности в стержне пренебречь. Указать неправильный ответ.

1. U_L увеличится. 2. U_r уменьшится. 3. P уменьшится. 4. I₁ уменьшится.

Рис. 2.59

Ответ: 4

Решение 2-59

При введении внутрь катушки ферромагнитно­го стержня увеличатся индуктивность и, следовательно, индуктивное сопротивление катушки. Проводимость участка цепи между точками а и б при этом уменьшается, что следует из выражения b_a6=l/X_L- 1/Х_C.

Сопротивление Z_аб=х_аб =1/ b_a6 возрастает.  Увеличится  также сопротивление всей цепи

B результате ток в цепи I = U/z уменьшится.

Показания вольтметра V_r и ваттметра W также уменьшатся, так как U_t =Ir, P=I²r.

Из уравнения следует, что при уменьшении  U_t  напряжение  U_a6=U_L увеличится. Последнее приведет к увеличе­нию тока I_C , поскольку I₁ =I_C = U_a6/x_C.

Задача 2-69. Будут ли изменяться напряжение U_аб и его фаза относи­тельно напряжении сети U при перемещении движка реостата цепи рис. 2.69. Указать правильный  ответ.

1. U_аб не изменится, фаза не изменится. 2. U_аб изменится, фаза не изменится, 3. U_аб не изменится, фаза изменится. 4. U_аб изменится, фаза изменится.

Ответ: 3

Решение 2-69

Решение задачи наиболее целесообразно произ­вести с использованием векторной диаграммы. Так как ветви цепи соединены параллельно, ток в .каждой из них зависит только от па­раметров данной ветви. Ток I₁ = U/2r не зависит от сопротивления r_р и совпадает по фазе с напряжением сети. Ток

зависит от сопротивления r_р  и отстает по фазе от напряжения

При   перемещении   движка  рео­стата   влево   его   сопротивление  r_P  уменьшается, ток I₂увеличивается, cos φ  уменьшается,  угол φ  увеличи­вается.  Векторная   диаграмма   для двух положений движка реостата, которым соответствуют сопротив­ления r’_р > r’’_P, приведена на рис. 13.2.69. Диаграмма строится на осно­вании уравнения                

Треугольники напряжений вгб' и вгб" прямоугольные. Геометри­ческим местом начал векторов I₂x_L, является окружность, диаметр ко­торой равен длине вектораU, а центр находится в точке а.

По второму закону Кирхгофа  (см. рис. 2.69) можно написать

На основании последнего равенства на рис. 13.2.69 построены век­торы U'_a6 и U _аб для двух значений сопротивления r_р. Как видно, зна­чение напряжения U_a6 не зависит, а фаза зависит от положения движ­ка реостата r_р.

Задача 2-75.P. К электрической цепи рис 2.75 подведены два напряжения u₁=U_m1sinωt и u₂=U_m2sin(ωt-π/2). Какое из приведённых выражений для мгновенного тока справедливо, если r=x_L, U_m1=U_m2=U_m? Указать правильный ответ.

1.  2.  3.                    4. 

Эквивалентное напряжение, действующее в кон­туре,

По условию напряжения U₁ и U₂ сдвинуты по фазе на 90° и рав­ны по значению. Поэтому

Ток в цепи

Так как r = x_L , то угол φ сдвига фаз между напряжением U_Эм и током I_m составит 45°, что вытекает из выражения tg φ = x_L/r=l.

По условию задачи и полученным результатам можно построить векторную диаграмму (рис. 13.2.75), на основании которой легко полу­чить следующее выражение мгновенного значения тока:

Рис. 13.2.75

Задача 2.82.P. Как следует выразить комплексные токи İ₁ İ₂ и напряже­ния Ů и Ů_L цепи рис. 2.82, если İ₃=I₃e^j0  и x_L > x_C? Указать неправиль­ный ответ.

1. u = U_msin(ωt + 60⁰) , i = I_msin(ωt)

2. u = U_msin(ωt + 120⁰) , i = I_msin(ωt)

3. e = E_msin(ωt + 30⁰) , i = I_msin(ωt ± 20⁰)

4. Ė = Ee ^j20 , İ = Ie ^j60

5. Ů = Ue ^j20 , İ = Ie^j180

Решение 2-82

Для решения задачи необ­ходимо изобразить комплексную плоскость и на­нести на ней векторы, соответствующие комплек­сам искомых величин.                   

Вектор тока İ₃ должен сов­падать с осью действительных величин по усло­вию задачи (рис. 13.2.82).                                                                   

Так как x_L > x_C , вектор напряжения Ů опережает по фазе ток  İ₃ на 90° и, следовательно, будет совпадать с осью мнимых величин. 

Ток  İ₂ отстает от напряжения  Ů_L на угол φ, а ток  İ₁ совпадает по фазе с напряжением.

Hапряжение  Ů_L опережает ток İ₂ на 90°. На основании полученного распо­ложения векторов можно написать

Рис.13.2.82

Задача 2-98.Р. На рис. 2.98 изображены участки пяти сложных электриче­ских цепей, напряжения, ЭДС и токи в которых

1) u = U_m sin (ωt + 60°), i = I_m sin(ωt) .

2) u = U_m sin (ωt + 120°), i = I_m sin(ωt) .

3) e = E_m sin (ωt + 30°), i = I_msin (ωt ± 20°).

4) Ė = Ее ^j20, İ = Ie ^j60.

5) Ů = Ue ^j20 , İ = Ie ^j180.

Определить, в каком режиме по активной мощности работают предполагаемые источники и приемники энергии. Указать неправиль­ный ответ.

1.Источника. 2. Приемника. 3. Приемника. 4. Источника. 5.Приемника.

Решение 2-98

Показанные на­правления тока и напряжения или то­ка и ЭДС говорят о том, что в случаях1, 2 и 4 предполагаются источники, а в 3 и 5 — приемники энергии. Действительный режим работы в каждом из случаев может быть выявлен или с помощью графика мгновенной мощности, вектор­ной диаграммы или выражения актив­ной мощности. Для случая 1 на рис. 13.2.98,а  изображены графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности. Из графика следует, что сред­няя активная мощность положительная. Из векторной диаграммы (рис. 13.2.98, б) следует, что вектор I_a, представляющий собой проекцию вектора тока на вектор напряжения, совпадает по направлению с вектором напряжения, т. е. составляющая тока, обусловливающая активную мощность, положительна.Угол между напряжением и током φ= 60—0=60°.   Активная мощность Р = UI cos φ = UI cos60° положительна, так как cos 60⁰ положительный.

Все три способа доказывают, что в первом случае предполагаемый источник работает в режиме генератора, так как развиваемая им мощ­ность положительная, т. е. генератор отдает энергию в остальную, не указанную на рис. 2.98 часть цепи.

Для случая 2 на рис. 13.2.98, в изображены графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности. Активная мощность имеет от­рицательное значение. Из рис. 13.2.98, г следует, что активная состав­ляющая тока I_а не совпадает с направлением вектора напряжения.

Из выражения активной мощности следует,  что в данном случае

Р = UI cos φ = UI cos 120°

имеет отрицательное значение, так как cos 120⁰ отрицательный. Таким образом, оказалось, что активная мощность предполагаемого источни­ка во втором случае имеет отрицательное значение, а это означает, что этот источник работает в режиме потребителя. Для определения режимов    работы в остальных случаях    можно ограничиться одним способом.Активная мощность в третьем случае
Р = El cos φ= El cos (30 ± 20°)

положительная, следовательно, в данном случае предполагаемый при­емник работает в режиме потребителя,

Активная мощность в случае 4 может быть определена из выра­жения

S = EI* = Ее ^j20° Ie -^j60° = Eie^-j40° = El cos (- 40°) -  jEI sin (- 40°) = P + jQ.

Активная мощность оказалась положительной. Следовательно предполагаемый источник в случае 4 работает в режиме источника. Активная мощность в случае 5

S = U I* = Ue^j120° Ie^-j180°= UIe^-j160° = UI cos (- 160°)— jUI sin (-160°) = -P + jQ ;      

имеет отрицательное значение. Следовательно, предполагаемый прием­ник в случае 5 в действительности работает в режиме источника.

    

Задача 2-103.Р. Как изменятся показания приборов при увеличении рас­стояния между двумя индуктивно-связанными и включенными встреч­но катушками (рис. 2.103)? Указать правильный ответ.

 1. I увеличится. 2. U₂ увеличится. 3. U₁ не изменится. 4. Р уменьшится.

Решение 2-103

Эквивалентная    индуктивность    включенных встречно катушек выражается следующим образом:

 При увеличении расстояния между катушками магнитная связь между ними и, следовательно, коэффициент связи к уменьшаются. В результате увеличиваются эквивалентныеиндуктивность и индуктивное сопротивление:

x = 2π*f*L .

Ток в цепи и напряжение на активном сопротивлении при этом уменьшаются, так как

Из уравнения Ů = Ů_L + Ů_r = Ů₁ + Ů₂  следует, что с уменьшением напряжения U₂при неизменном U напря­жение U₁ будет увеличиваться. Показание ваттметра, измеряющего ак­тивную мощность, уменьшится, так как Р = I² r.

Задача 2-106.Р. В результате проведения двух опытов определено индук­тивное сопротивление цепи, состоящей из двух индуктивно-связанных катушек. Оказалось, что при согласном включении x_C=400 Ом, при встречном x_B =200 Ом. Определить взаимную индуктивность M,если ω=500 рад/с. Указать правильный ответ.

1. 0,2 Гн.      2. 2 Гн.          3. 0,1 Гн.           4. 1 Гн.                         

Решение 2-106

При согласном включении катушек х_С = x_L1  + x_L2 + 2x_M, а при встречном включении x_B = x_L1 + x_L2 - 2х_м.

Вычитая из первого выражения второе, получаем x_C  - х_B = 4х_м, откуда 

х_м = (х_C - х_B)/4 = (400-200)/4 = 50 Ом.

Из выражения x_M = ω M следует М = х_м/ ω  = 50/500 =0,1 Гн.

Задача 2-109.Р. Определить индуктивное сопротивление цепи рис. 2.109, обусловленное взаимной индуктивностью, а также напряжения U₁, U₂ и ток I, если U=180 В, x₁=5 Ом, x₂=20 Ом, коэффициент связи k=0,8, r₁=r₂=0. Указать неправильный ответ.

1. x_M=8 Ом.         2. I = 20 А.       3. U₁ = 120 В.            4. U₂=240 В.

Рис. 2.109

Решение   2-109

Эквивалентная индуктивность цепи равна  

Умножив левую и правую части на ω, получим

Эквивалентное индуктивное сопротивление цепи равно 

Индуктивное сопротивление, обусловленное взаимной индукцией: 

Эквивалентные сопротивления катушек равны х_ЭКВ1 = х₁ - х_М = 5 - 8 = -3 Ом, х_ЭКВ2 = х₂ - х_М = 20 - 8 = 12 Ом,

Ток в цепи равен I = U/ х_ЭКВ = 180/9 = 20 A.

Напряжения U₁ и U₂:

U₁ = İ j х_ЭКВ1 = 20j(-3) =-j60 ; U₁ = 60 B ; U₂ = İ j х_ЭКВ2 = 20*j*12 = j240 ;U₂ = 240 B.

Задача 2-124.Р. В каком из графиков: Рис. 2.124б для цепи рис. 2.124а допущена ошибка?

1.I(f)        2. x_L(f)          3. U_L(f)         4.x_C(f)        5. z(f).

Решение 2-124

Индуктивное сопротивление изменяется прямо пропорционально частоте: x_L=2πfL. При f=0 x_L=0, при f→∞ x_L →∞. График зависимости x_L (f) представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Емкостное сопротивление изменяется обратно пропорционально ча­стоте: x_c = 1/2πfC. При f=0  х_с= ∞ , при  f→∞ х₀  →0. График зависи­мости x_C (f) представляет собой гиперболу.

Полное сопротивление цепи равно

 При f  = 0 z = ∞, так как x_C  =  ∞, при f = f_Р  : z = r, так как X_L=X_C , при f →∞ z →∞, так как x_L→∞. График зависимости z(f) имеет вид, изображен­ный на рис.2.124 б.

Ток в цепи I = U/z .При f = 0 : I=0 , при f →∞ : I →0 , при f = f_P ток имеет максимальное значение I = U/r . Напряжение равно 

При f=0 U_L= 0 , при  f →∞ U_L → U . Максимальное значение на­пряжения U_L будет при частоте несколько больше, чем f_р. Это легко обнаружить, если взять производную dU_L/df и приравнять ее нулю, выразив предварительно X_L и x_C через частоту.

Задача 2-139.Р. Какова зависимость полных сопротивлений всей цепи z рис. 2.139 и участкааб (z_АБ) от частоты, если r₁ = r ? Указать правиль­ный график.

Решение 2-139

1. Определим сопротивление участка цепи z_аб. При f = 0 : x_с = ∞,     x_L = 0 ,z_аб = r₁ . При f →∞ : x_с → 0 x_L →∞ ,z_аб → 0 . При  f = f_р реактивная проводимость цепи b_аб =b₁ - b_C = 0, а активная проводимость g_аб = g_L = r₁/(r²₁ + r²_L) ; в этом случае     z_аб = r_аб = 1/ g_аб =(r²₁ + x²_L)/r₁

2.Определим сопротивление всей цепи z. При f =0 z = r + r₁. При f=f_p z = r + r_аб = r + (r²₁ + x²_L)/r₁. При f→∞ z → r. 

Задача 2-146.Р. При резонансе токов в цепи рис. 2.146  I₁ =10 A, I₂ =5 A, x_c =40 Ом. Определить индуктивное сопротивление x_L . Указать пра­вильный ответ.

1. 40 Ом.        2. 20 Ом.           3. 10 Ом.         4. 80 Ом.

Решение 2-146

При резонансе токов имеем Q_L = Q_C  или  I²₁*x_L = I²₂*x_C , откуда x_L= x_C* I²₂/ I²₁ = 40*5²/10²= 10 Ом.

Задача 3-1.Р * В каком из приведенных выражений для цепи рис. 3.1 допущена ошибка, если u_a = sin ωt?

1. u_B = U_m sin (ωt - 120°)       2. u_C = U_m sin (ωt - 240°).

3. u_AB = U_m sin (ωt + 30°)     3. u_BC = U_m sin (ωt + ??°) 

5. u_CA = U_m sin (ωt + ??°)

Решение 3.1

Фазные напряжения сдвинуты по фазе на  120°.

Если напряжение фазы А изменяется по закону u_A = U_m sin(ωt) , то u_B = U_m sin(ωt - 120⁰)  и u_C = U_m sin(ωt -240⁰).

Связь между фазны­ми и линейными напряжениями может быть установлена с помощью уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для цепи рис. 3.1:

0 = Ū_AB + Ū_B - Ū_A ; 

0 = Ū_BC + Ū_C - Ū_B ; 0 = Ū_CA + Ū_A - Ū_C .

Из этих уравнений следует Ū_AB = Ū_A - Ū_B ; Ū_BС =  Ū_B - Ū_С ; Ū_СА = Ū_С - Ū_А .

Построив векторы фазных напряжений (рис. 13.3.1), с помощью последних уравнений нетрудно построить векторы линейных напряже­ний. На основании векторной диаграммы легко получить выражения для мгновенных значений линейных напряжений:

Линейные напряжения, так же как и фазные, сдвинуты между со­бой по фазе на 120°.

Задача 3-2.Р. В каком из приведенных выражений для цепи риc. 3.1 до­пущена ошибка, если комплексное напряжение Ů_A записано в виде Ů_A = U_Ae ^j0 ?

1.      Ů_B = U_Be ^-j120    2. Ů_C = U_Ce ^-j240       3. Ů_AB = U_ABe ^-j30        4. Ů_BC = U_BCe ^-j90          5. Ů_CA = U_CAe ^-j210

Решение 3-2

Для решения задачи необходимо изобразить век­торную диаграмму фазных и линейных напряжений, как это было сде­лано в задаче 3-1; затем следует сориентировать относительно векторов комплексную плоскость так, чтобы ось действительных значений совпа­дала с вектором фазного напряжения Ů_A , как это требуется по усло­вию задачи (рис. 13.3.2.). На основании рис. 13.3.2 можно записать комплексы фазных и линейных напряжений:

Задача 3-10.Р. Каждая фаза приемника энергии цепи рис. 3.10 содержит лампы накаливания, имеющие одинаковые номинальные мощности и  напряжения. Определить напряжения U_A и U_B, когда отключен вы­ключатель и оборван нейтральный провод. Считать, что сопротивления ламп не зависят от тока. Указать правильный ответ.

1. U_A=U_B =190 В.        2. U_A  =285 В; U_B = 95 В.             3. U_A =U_B=220 В.             4. U_A=95 В; U_B =285 В.

Решениe 3-10

При отключенной фазе С и оборванном нулевом проводе фазы А и В оказываются соединенными последовательно и подключенными на линейное напряжение. Ток потребителей равен: I_A = I_B = U/( r_Л/3 + r_Л ) = 3U/4r_Л где r_Л - сопротивление одной лампы. 

У потребителя А: U_A = I_A r_A = 3U*r_Л /12r_Л = U/4 = 380/4 = 95 B,

у потребителя В: U_В = I_В r_В = 3U*r_Л /4r_Л = 3*U/4 = 3*380/4 = 285 B.

Лампа фазы В будет гореть с перекалом и быстро выйдет из строя. Лампы фазы А будут гореть с недокалом.

Задача 3-25.P. Определить показания вольтметра в цепи рис. 3.25. Указать правильный ответ.

1. 220 В.      2. 110 В.      3. 330 В.       4. 190 В.       5. 127 В.

Решение 3-25

Искомое напряжение U₁₂ определяется с помощью уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, и векторной ди­аграммы, приведенной на рис. 13.3.25.

По второму закону Кирхгофа Ū₁₂ = Ū_AB - Ū_BC/2 .

Из векторной диаграммы, построенной по этому уравнению, следу­ет, что

U₁₂ = U_AB cos 30° =  190 В.

Рис. 13.3.25

Задача 3-34. Активная мощность приемника энергии цепи рис. 3.34 Р = 4950 Вт, напряжение сети U = 380 В,  I_A =10 А, I_B =5 А, коэффици­ент мощности фазы А соs(φ_A) = 1, фазы Вcos(φ_B) = 0,5, фазы C cos(φ_C) = 0,5. Определить ток I_C , сопротивления r_C и x_L , а также реактивные мощности фаз В и С. Указать неправильный ответ.

1. I_C = 20 А. 2. r_C = 5,5 Ом. 3. x_L= 9,5 Ом. 4. Q_B=750 вар. 5. Q_C =3800 вар.

Решение 3-34

Активные мощности:

фазы A    P_А  = U_AI_A cos(φ_A)=220*10*l=2200 Вт;

фазы В    Р_B = U_BI_B cos(φ_B) = 220*5*0,5 = 550 Вт;

фазы С    P_C = P - P_А - P_B  = 4950— 2200— 550 = 2200 Вт.

Из   выражения   для   P_C = U_CI_C cos(φ_C)  следует I_C=P_C /U_C cos(φ_C) = 2200/220*0,5=20 А.

Реактивные мощности:

фазы A Q_A = 0;

фазы В Q_B = U_B I_B sin φ_B = 220*5 * √3/2 =950 вар;

фазы С Q_C = U_C I_C sin φ_C = 220*20 * √3/2 =3800 вар.

Из выражения Q_C = I²_C x_L , следует x_L = Q_C / I²_C = 3800/20² = 9,5 Ом.

Из выражения P_c = I²_C r_C следует r_С = Р_С/ I²_C =220/20²=5,5 Ом.

Задача 3-41. Установка трехфазного тока  (рис. 3.41) состоит из приемников энергии б и в и конденсаторной батареи а, служащей для улучшения коэффициента мощности установки. Приемники б и в имеют симметричную нагрузку каждой фазы индуктивного характера. Мощности приемников Р_б=173 кВт, Р_в = 110 кВт, коэффициенты мощности cosφ_б= =0,8,cosφ_в=0,7. Определить емкость конденсаторов одной фазы конденсаторной батареи, при которой cosφ установки будет равен единице, f = 50 Гц, U=380 В. Указать правильный ответ.

1. 48,5 мкФ.      2. 66 мкФ.         3. 1800 мкФ.           4. 1980 мкФ.

Решение 3-41

Полные мощности потребителей : S_А = P_А/cos φ_А= 173/0, 8 = 216 кВ·А; S_В= Р_В /cos φ_В = 110/0,7= 157 кВ·А.    

Реактивные мощности потребителей

Реактивная (емкостная) мощность конденсаторной батареи должна быть равной реактивной (индуктивной)  мощности потребителей:

Q_C = Q_L = Q_A + Q_B = 133 + 112 = 245 квар.

Емкостное (сопротивление фазы конденсаторной батареи определим

из формулы : Q_C/3 =(U/x_C)² x_C = U²/x_C  ; x_C=3U²/Q_C = 3*380²/245*10³ = 1.77 Ом.

Емкость конденсаторов одной фазы конденсаторной батареи: x_C =1/2πfC; С = 1/х_Cπf*   10^-6= 1*10⁶/(1.77*2*3.14*50) = 1800 мкФ.

Задача 3-42.Р. Электрическая цепь рис. 3.42 имеет следующие параметры: Z_AB = 4+j3 Ом, Zвс = 8+j6 Oм, Z_CA = 10 Ом. Напряжение сети U=380 В. Определить показания ваттметров W₁,W₂ и активную мощность цепи.

Указать правильный ответ.

1.W₁=30500 Вт, W₂=18500 Вт, Р=49000 Вт.

2. W₁=18500 Вт, W₂=30500  Вт, Р=49000 Вт.

3. W₁=30500 Вт, W₂=18500 Вт, Р=12000 Вт.

Решение  3-42

1. Фазные токи и их фазы относительно напряжений

2. Линейные токи определяются по первому закону Кирхгофа с помощью векторной диаграммы (рис. 13.3.42):

Ī_А = Ī_AB - Ī_CA ; I_A = 114 A,

Ī_B = Ī_BC - Ī_AB ; I_B = 100 A,

Ī_C = Ī_CA - Ī_BC ; I_C = 114 A,

3. Показания ваттметров : P₁ = U_ABI_A cos(Ū_AB, I_A) = 380*114*cos 45^o= 30500 Вт, P₂ = U_BСI_С cos(-Ū_BС, I_С) = 380*50*cos 12^o = 18500 Вт,

4. Активная мощность цепи P = P₁ + P₂ = 30 500 + 18 500 = 49 000 Вт.

Правильность решения может быть выявлена путем определения активной мощности каждой фазы приемника:

P = I²_AB r_AB + I²_BC r_BC + I²_CA r_CA = 76²*4 + 38²*8 +38²*10 =49000  Вт.

Задача 3-43.Р. Выбрать сечения проводов для питания трехфазных асинхронных двигателей (рис. 3.43), паспортные данные и расстояние от распределительного пункта до каждого из которых приведены в табл. 3.43. Допустимые токи проводов указаны в табл. 3.43а. Допустимая потеря напряжения не должна превышать 4 % номинального. Указать неправильный ответ.

1. 2,5 мм².        2. 10 мм².         3. 25 мм².        4. 50 мм².

Решение 3-43

Расчетные токи проводов

I_P = I_H = P_H /η_H cos φ_H √3 U_H

I_P1 = I_H1 = 10*1000/0.85*0.82*1.73*380 = 21.8 A;

I_P2 = I_H2 = 22*1000/0.875*0.79*1.73*380 = 48.4 A;

I_P3 = I_H3 = 40*1000/0.89*0.85*1.73*380 = 80.5 A;

I_P4 = I_H4 = 75*1000/0.905*0.86*1.73*380 = 145 A;

Сечение проводов по нагреву выбирается из условия I_P ≤ I_Д .

Согласно табл. 3.43а сечения проводов составят S₁ = 25 мм²; S₂=  10 мм²; S₃ = 25 мм²;S₄=,50 мм².

Проверка проводов по допустимой потере напряжения. Потеря на­пряжения в проводах на одну фазу

ΔU_Ф =  U_Ф - U'_Ф = I_P(r cos(φ_H) + x sin(φ_H) )                      (1)

где U_Ф — напряжение  в  начале линии,  В; U'_Ф —напряжение на потре­бителе (в конце линии), В; r — активное сопротивление, Ом; х — индук­тивное сопротивление проводом, Ом;φ_H — угол сдвига по фазе между током и напряжением приемника.

Активное сопротивление проводов r = l /γS.

Индуктивное сопротивление проводов х сети низкого напряжения составляет около 0,3 Ом на километр. Вследствие малой длины прово­дов и малого значения sin φ_H вторым членом в (1) можно пренебречь, тогда: ΔU_Ф = I_Pr cos(φ_H).

Сопротивления проводов для двигателей равны соответственно

r₁ = l₁ /γS₁ = 40/57*2.5 =0.28 Ом;

r₂ = l₂ /γS₂ = 160/57*10 =0.28 Ом;

r₃ = l₃ /γS₃ = 80/57*25 =0.056 Ом;

r₄ = l₄ /γS₄ = 120/57*50 =0.042 Ом.

Потери напряжений в проводах к двигателям равны

ΔU_Ф1 =(I_P1*r₁*cos(φ_H1)*100 )/220 = 21.8*0.28*0.82*100/220 = 2.27% ;

ΔU_Ф2 =(I_P2*r₂*cos(φ_H2)*100 )/220 = 48.4*0.28*0.79*100/220 = 4.85% ;

        ΔU_Ф3 =(I_P3*r₃*cos(φ_H3)*100 )/220 = 80.5*0.056*0.85*100/220 = 1.73% ;

ΔU_Ф4 =(I_P4*r₄*cos(φ_H4)*100 )/220 = 145*0.042*0.86*100/220 = 2.37% ;

Сечения проводов для двигателей 1, 3 и 4, выбранные по допусти­мому току, удовлетворяют и условию допустимой потери напряжения в проводах, так как

ΔU_Ф1 , ΔU_Ф3 , ΔU_Ф4 < ΔU_ФД

Провода для двигателя 2, выбранные по допустимому току, не проходят по допустимой потере напряжения, так как ΔU_Ф2 > ΔU_ФД

Необходимо выбрать провода ближайшего большого сечения. В данном случае выберем провода сечением 16 мм² и проверим их на допустимую потерю напряжения:

r₂ = l₂ /γS₂ = 160/57*16 =0.176 Ом; ΔU_Ф2 =( 48.4*0.176*0.79*100/220 = 3,06%

Потеря напряжения меньше допустимой.  Следовательно, сечение проводов для двигателя 2, равное 16 мм², приемлемо.

Задача 4-4.Р. Какое из приведенных выражений несправедливо для переходного процесса в цепи рис. 4.4, возникающего при замыкании выключателя?

1.               2. 

3.             4. 

Рис. 4.4 

Решение 4.4

По второму закону Кирхгофа для переходного процесса

e_L=ir-U.   (1)

Выразив e_L  через  -Ldi/dt, после преобразований получим

τ di / dt + i = U/r,                  (2)

где τ =  L / r- постоянная времени контура.

Для удобства анализа и расчета переходных процессов ток в цепи при переходном процессе представим состоящим из двух составляющих:

i = I_y + i_CB                          (3)

где I_y - установившаяся составляющая тока; i_CB - свободная составля­ющая тока.

Установившаяся составляющая тока определяется по закону Ома, а свободная составляющая — из решения дифференциального уравне­ния (2) относительно свободного тока без правой части.

Решением последнего уравнения является выражение

i_CB=Ae^pt,                            (4)

где р — корень характеристического уравнения τp + 1 =0.

Очевидно, р = -1/τ. Следовательно, i=U/r+Ae^-t/τ . Постоянная интегрирования Аопределяется из начальных условий на основании первого закона коммутации. При t = 0 , i =0;A= -U/r. После подстановки в уравнение (4) значения А получим

                                                                                     (5)

Выражение ЭДС может быть найдено путем, подстановки (5) в (1):

откуда е_L = -Ue^-t/τ .

Напряжения определяем по закону Ома:

u_L = -e_L = Ue^-t/τ .

Задача 4-5.Р. Какое из приведенных выражений несправедливо для переходного процесса в цепи рис. 4.5, возникающего при включении выключателя?

1.     2.      3.

Решение 4-5

По второму закону    Кирхгофа для переходного процесса справедливо

0 =ir + u_С - U.                           (1)

Подставив в (1) вместо тока его выражение i=CdUf/dt, получим

τ du_C /dt + u_C = U                     (2)

     где τ = rC — постоянная времени цепи. Решение уравнения (2) имеет вид

u_C = U_Cy + u_{C CB} = U_Cy + Ae^pt   (3)

В  формуле(3) р —корень характеристического уравнения τp + 1 = 0. Очевидно, р = 1/τ. 
Постоянную интегрирования А определяем из начальных условий, исходя из второго закона коммутации, говорящего о том, что напряже­ние на конденсаторе не может изменяться скачком. Если до включения выключателя u_C = 0, то и после включения, т. е. при t = 0, u_C = 0.
Подставив 'в формулу (3)  t=0 и i = U/r , получим А =U_Су = -U. Окончательно имеем

u_C = U - Uе^-t/τ .        (4)

После подстановки (4) в (1) получим уравнение для тока при пе­реходном процессе i = Ue^-t/τ/r. Поэтому u_r = ir =Ue^-t/τ .

Задача 4-15.Р. Определить начальное значение ЭДС самоиндукции цепи рис. 4.15 при замыкании выключателя. Указать правильный ответ.

1. –U/2
2. 2U
3. 0
4. U
5. U/4

Решение 4-15

Как следует из первого закона коммутации, до замыкания выключателя и после его замыкания при t = 0 ток в ветви c индуктивностью должен иметь одно и то же значение.

До замыкания выключателя I = U/2r ;  после замыкания i = I_НАЧ = (U + E_НАЧ)/r

Приравняв токи, получим U/2r = (U + E_НАЧ)/r , откуда Е_НАЧ = -U/2.

Задача 4-22.Р. Определить начальные значения токов i₁, i₂, i₃, а также напряжений u₂ и u_L цепи рис. 4.22 после замыкания выключателя. Указать неправильный ответ.

1. _{I3нач = 0.}
2. _{I2нач = U/(r1 + r2).}
3. _{I1нач = U/(r1 + r2).}
4. _{U2нач  = Ur2/(r1 + r2).}
5. _{ULнач = Ur3/(r1 + r2).}

Решение 4-22

Ток i₃  в  ветви с индуктивностью L до замыкания выключателя был равен нулю. Следовательно, и после включения выклю­чателя, при t = 0, i₃ = I_3НАЧ = 0. Это равноценно тому, что эквивалентное сопротивление ветви с индуктивностью L после замыкания выключателя при t=0 равно бесконечности. Напряжение на емкости до замыкания выключателя было равно нулю. Значит, и после замыкания, при t=0, u_C = U_C НАЧ = 0

Следовательно, начальные значения искомых величин равны I_1 НАЧ = I_2 НАЧ =      = U/(r₁ + r₂); U_2НАЧ = I_2 НАЧ r₂ = Ur₂/(r₁ + r₂); U_L НАЧ = Ur₂/(r₁ + r₂).

Задача 4-29.Р. По какому закону будут изменяться напряжения и токи в цепи рис. 4.29 при переходном процессе, вызванном размыканием вы­ключателя, если r₁ = r₂ = r  ? Указать неправильный график.

l. i(t) 2. i₁(t) 3. i₂(t) 4. u_L(t) 5. u_r(t).

Решение 4-29

Необходимые для построения графиков токов и напряжений зависимости могут быть получены путем совместного ре­шения трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа:

i = i₁ + i₂ ;                    (1)

е = - Ldi₁/dt = i₁r₁ - U + ir;    (2)

0 = ir + i₂r₂ - U           (3)

Совместное решение (1), (2) и (3) относительно i₁ дает дифферен­циальное уравнение

Решение (4) может быть представлено в виде i₁ = I_1y + Ae^pt.   (5)

Установившийся ток можно определить, если в (4) принять di₁/dt. Тогда

i₁ = I₁y = U(r₁ +r₂)(rr₁ + r₁r₂ + rr₂)2

Из характеристического уравнения                                              имеем

Постоянная времени τ = 1/р =L(r₁ + r₂)/ rr₁ + r₁r₂ + rr₂). Постоянная интегрирования А определяется из начальных условий: при t = 0 , I_1НАЧ = U/r. Подставив в (5) t = 0 и i₁ = U/r,получим А = U/r - I_1y . Окончательно i₁ = I_1y + (U/r - I_1y)e^-t/τ  (6).

Аналогичным образом можно получить выражения для остальных искомых величин. Так как остальные искомые величины будут изменяться по экспоненциальному закону с той же постоянной времени, достаточно ограничиться определением их начальных и установившихся значений. Определив начальные и конечные значения искомых величин, можно составить представление о характере их изменения. График u_L(t) изображён неправильно.

Задача 4-35. Р. Магнитодвижущая сила катушки составляет 4000 А. Катуш­ку можно выполнить со следующими параметрами: а) ω_A =1000 вит­ков, I_A =4 А; б) ω_Б =  =2000 витков, I_Б =2 А; в) ω_В =4000 витков, I_B = 1 А.

Определить, в каком соотношении находятся сопротивления, напря­жения, индуктивности и постоянные времени ка­тушек, если допустить, что D_CP, l (рис. 4.35) и плотность тока J=2 А/мм² во всех случаях одинаковые. Потоками рассеяния пренебречь. Указать неправильный ответ.

1. L_A / L_Б /L_B = 1/4/16
2. r_A / r_Б /r_B =1/4/16.
3. U_A / U_Б /U_B =1/2/4.
4. τ_A / τ_Б /τ_B =1/2/4.

Решение 4-35

Для катушки можно написать следующие урав­нения:

U = Ir,                                                                         (1)

J = US;                                                                        (2)

r = l_CP ω/γS                                                                 (3)

Из совместного решения (1) - (3)  получим

U = JSr = J*l_CP*ω/γ                                                    (4)

 r = l_CP*ω*J/γI                                                             (5)

Подставив значение ω в  (4)  и взяв отношение напряжений, получим

U_A: U_Б: U_B= ω_А: ω_Б: ω_В = 1000:2000:4000 =1:2:4

Подставив значения ω и I в  (5) и взяв отношение сопротивлений, получим

r_A: r_Б: r_В =(1000/4):(2000/2):(4000/1) = 1:4:16. Индуктивность катушки определяем из выражения

L = ω²*S*μ_A/l                                                            (6)

Подставив значение ω в (6) и взяв отношение индуктивностей, по­лучим

L_A: L_Б: L_B= ω²_А: ω²_Б: ω²_В = 1000²:2000²:4000² = 1:4:16.

Постоянные времени определяем из выражения

τ = L/r                                                                         (7)

Подставив в (7) значения L и r и взяв отношение постоянных вре­мени, получим

 τ_A :τ_Б :τ_В  = (1/1):(4/4):(16/16) =1:1:1.

Задача 4-48.Р. В какой момент времени периода синусоидального тока должен быть замкнут выключатель, чтобы в цепи рис. 4.47 сразу возник установившийся режим, если u = U_msinωt. Указать правильный ответ.

1. При t=0 2. При t=π/2ω. 3. При t=φ/ω (φ=arctgωL/r).

рис. 4.47

Решение 4-48

По второму закону Кирхгофа имеем

e = -L di/dt = ir - U_msin ωt.                                        (1)
Решение уравнения (1) имеет вид

i =i_у + Ае^-t/τ .                                                         (2)

В цепи сразу после ее подключения возникает установившийся ре­жим в том случае, если Ае^-t/τ =0.

До включения цепи ток был равен нулю: i=0. Следовательно, и пос­ле включения в первый момент, соответствующий искомому значению

времени периода переменного тока t_ВКЛ , ток также будет равен нулю. Подставив в (2) i = 0 иt = t_ВКЛ , получим

0 = i_у + 0 = U_m*sin(ωt_ВКЛ - φ)/z  +0:

Таким образом, переходного режима в цепи не будет, если она включается в момент времени, когда принужденный ток равен нулю.

Из  (3) sin(ωt_ВКЛ - φ) = 0  или ωt_ВКЛ - φ = 0.

Следовательно, 

Задача 4-51.Р. Какое из приведенных выражений для переходного процесса в цепи рис. 4.49 имеет ошибку, если выключатель замыкается при t=0, а напряжение сети изменяется по закону u = U_m sin(ωt + π/2)?

1. u_c=

2. i=

3.

В приведённых выражениях φ=arccos(r/z).

рис. 4.49

Решение 4-51

Уравнение электрического состояния цепи  для переходного процесса

ir + U_C = U_m sin(ωt + π/2)                                                     (1)

Подставив в (1) значение i=C du_C/dt, получим

            Cr du_C/dt + U_C = U_m sin(ωt + π/2)                             (2)

Напряжение на емкости в переходном режиме u_C = u_Cy + u_C CB .

Действующее значение установившейся составляющей напряжение на емкости

где х_C=1/2πfС.

Мгновенное значение принужденной составляющей

u_Cy = U_mx_Csin(ωt + π/2 + φ - π/2) /z = U_mx_Csin(ωt + φ)/z

Свободная составляющая напряжения на емкости «сев определяет­ся из дифференциального уравнения (2) без правой части:

Cr*du_{C CB}/dt + u_{C CB} = 0,

Откуда u_{C CB} = Ae^pt

Значение р определяется из характеристического уравнения С*r*р + 1 = 0, откуда p = -1/Cr.

Напряжение на ёмкости в переходном режиме

u_C = u_Cy + u_{C CB} = U_mx_Csin(ωt + φ)/z + Ae^-t/Cr            (3)

Постоянная интегрирования А определяется на основании второго закона коммутации. Так как до замыкания выключателя емкость была не заряжена, то напряжение на ней до и после замыкания выключателя равно нулю: u_C = (0₊) = u_C (0_-) = 0

Подставив в (3) значение u_C = 0 и  t = 0, получим

A = - U_mx_Csin(φ)/z

Уравнение напряжения на емкости в переходном режиме

u_C = U_mx_Csin(ωt + φ)/z - U_mx_Csin(e^-t/Cr )/z.                (4)
  Уравнение для тока можно получить тремя способами.

Первый способ:  путем подстановки в (1) значения u_C из (4):

i = U_mx_Csin(ωt + π/2)/r - U_mx_Csin(ωt + φ)/(z*r) + U_mx_Csin(φ e^-t/Cr)/(z*r)       (5)

Второй способ: значение тока в переходном режиме

i = i_y + i_CB

Действующее значение установившегося тока 

Мгновенное значение установившегося тока

i_y = U_m sin(ωt + π/2 + φ)/z

Свободная составляющая тока определяется из уравнения (1) без правой части, в которое вместо u_C подставлено его значение

После дифференцирования получим r*(di_CB/dt) + i_CB/C = 0. Его решение i_CB = Ae^pt  ,

где p = -1/Cr . Ток в цепи в переходном режиме i = i_y + i_CB = U_msin(ωt + π/2 + φ)/z + Ae^-t/rC (6).

       Постоянная интегрирования определяется из следующих соображений. После замыкания выключателя при t = 0 значение тока, как это вытека­ет из уравнения (1) ,

i_НАЧ = U_msin(ωt + π/2)/r = U_m/r , так как  u_C = 0 . Таким образом, после подстановки i_НАЧ и t = 0 в (6) получим A = U_m/r - U_msin(π/2 + φ)/z .

Уравнение тока i = U_msin(ωt + π/2 + φ)/z + [U_m/r + U_msin(π/2 + φ )/z]*e^-t/rC         (7).

Третий способ: ток в цепи в переходном режиме

i = C*(du_C/dt) = U_mx_Ccos(ωt + φ)*Cω/z + U_mx_CC*sin φe^-t/rC = U_msin(ωt + π/2 + φ)/z +

+ U_mx_C*sin φe^-t/rC/zr                                                                                            (8).

Структура уравнений тока  (5),  (7),  (8)  не одинаковая, и может создаться впечатление, что характер изменения тока будет в цепи раз­личным. На самом деле уравнения отражают один и тот же характер изменения тока в цепи. Докажем, например, равенство свободных со­ставляющих тока уравнений (5) и (7):

U_mx_C*sin φ/zr = U_m/r - U_msin(π/2 + φ )/z .                                                                (9)

Приведём к общему знаменателю правую часть равенства (9) и, сократив на U_m , r и z, получим

x_C*sin φ = z - r*sin(π/2 + φ )                                                                                 (10)

Подставив в (10) : sin φ = x_C/z , sin(π/2 + φ ) = cos(φ) =r/z получим x²_C/z = z - r²/z , откуда x²_C/z = (z² - r²)/z ; x²_C = z² + r².

Напряжение на резисторе u_r = ir = U_m r*sin(ωt + π/2 + φ)/z + r[U_m/r + U_msin(π/2 + φ )/z]*e^-t/rC .

Задача 4-61.Р. Электрическая цепь рис. 4.61, а состоит из последовательно включенных r, L и идеального диода Д. Напряжение изменяется по закону u=U_m sin ωt. Зависимость тока от времени цепи изображена на одном из графиков (рис. 4.61,6). Указать этот график.

Решение 4-61

Электрическая цепь рис. 4.61, а представляет со­бой выпрямитель, в котором диод Д — выпрямляющий элемент, r — приемник, L — фильтр—элемент, сглаживающий пульсации выпрям­ленного тока и напряжения.

Вследствие односторонней проводимости диода ток в цепи может иметь направление, указанное на схеме. На первый взгляд кажется, что ток в цепи будет иметь место только в положительную полуволну напря­жения сети и зависимость тока от времени соответствует графику 1 на рис. 4-61, б. В действительности такой график будет только при отсут­ствии индуктивности.

При наличии индуктивности зависимость i(t) существенно изменит­ся. Для выяснения явлений, происходящих в этом случае,    используем теорию переходных процессов. Предположим, что цепь с r к L вклю чается в сеть переменного тока в начале каждой положительной полувол­ны напряжения сети, т.е. в момент t=0 периода переменного тока. Рас­смотрим переходный процесс. Пусть напряжение сети изменяется по за­кону

u = 200 sin 314t;    r = 10 Ом;    L = 0,124 Гн. По второму закону Кирхгофа имеем e = ir - u.                                                                   (1)

После подстановки получим -L*di/dt =ir - 200*sin314t т.е. L*di/dt + ir = 200*sin314t

Ток в цепи равен i = i_y + i_CB . Установившийся ток равен i_y = U_m* sin(314t - φ);

x_L = 2πfL = 314*0.124 = 38.8 Ом ; cosφ = r/z = 10/40 = 0.25; φ = 76⁰ =(76/57) рад;

i_y = 200*sin(314t - 76/57)/40 = 5sin(314t - 76/57).

Уравнение для i_CB имеет вид L di_CB/dt + i_CB r =0; его решение имеет вид i_CB  = Ae^pt.

Значение р определяем из характеристического уравнения Lp + r = 0, т.е.

p= -r/L=  -1/τ; τ = L/r =0.124/10 =0.0124 c.

Ток в цепи равен i = 5sin (314t - 76/57) + Ae^-t/τ при  t = 0; i = 0; 0=5sin(0 - 76⁰)+ A;

A = -5sin( -76⁰ ) = 4.67.

Ток в цепи будет изменяться по закону  i = 5sin(314t - 76/57) + 4.67e^-t/0.0124     (2)

Выражение для ЭДС, возникающей в катушке, получим, если подставим в (1) значение тока из (2): e = ir -u = 5*10sin(314t-76/57) + 4.67e^-t/0.0124 - 200sin(314t).

Из графиков u , i_y , i_CB, i и е , построенных на основании получен­ных выражений (рис. 13.4.61), следует, что ток в цепи имеет место в  некоторое время отрицательный полуволны напряжения. Он поддерживается ЭДС самоиндукции е. В эту часть времени (интервал времени между точками а и б на pиc. 13.4.61) энергий магнитного поля воз­вращается в сеть и частично выделяется в виде теплоты в сопротив­лении потребителя r.

Рис. 13.4.61

Задача 4-65.Р. На рис. 4.65 изображен примерный характер изменения тока цепи задачи 4-64. Определить значения времени, при которых ток в цепи равен нулю (точки А, Б, В графика). Указать неправильный ответ.

1. 0,0149 с. 2. 0,02337 с. 3. 0,03436 с.

Решение 4-65

Для переходного процесса справедливо уравне­ние, составленное по второму закону Кирхгофа,

L*di/dt + ir = u. Ток в цепи i = I_y + i_CB

Свободная составляющая тока определяется из дифференциально­го уравнения

L di_CB /dt + i_CB r = 0;    i_CB = Ae^pt ;

где р — корень характеристического уравнения Lp + r =0,

р = - r/L;  τ = L/r.

Tок в цепи i =I_у + Ae^-t/τ .                                                                    (1)

Постоянная времени τ = L/r =0,2/10=0,01 с.

Уравнение (1) справедливо для каждого участка времени с неиз­менным значением приложенного напряжения. Определим ток для мо­ментов времени

t₁ = 0,01 с; t₂=0,02 с; t₃=0,03 с и t₄=0,04 с. На участке от t=0 до t₁=0,01 с

I_y = U/r = 100/10 =10 A; i_НАЧ= 0;  0 = 10 + A; A = -10A; i=10 - 10e^-t/0.01.

Для t=0.01 c i=10 -10e^-t ; i = 10 - 10/2.72 = 6.33 A.

На участке от t₁=0,01 с до t₂=0,02 с I_у= -100/10= -10 А. За на­чало отсчета при использовании уравнения (1) необходимо брать вре­мя t=0. Как следует из первого закона коммутации, значение A опре­делится при подстановке в уравнение (1) значения тока, равного току конца предыдущего участка u(t):

6,33 = -10 + А;   A=16,ЗЗА; i=-10 + 16.33e^-t/0.01.                      (2)

При t=0,01 с (по графику t₂=0,02 с)

 i= -10 +16.33e^-1; i= -10+ 16,33/2,72 = -4 А.

Действуя на участке от t₂=0,02 с до t₃=0,03 с аналогичным об­разом, как и на участке от t₁=0,01с до  t₂ =0,02 с, получим:

I_у = 100/10= 10 А;   -4= 10 +A;   A = - 14 А;

i = 10 - 14е^-t/0.01 .                                                                                 (3)
При t=0,01 с (по графику t₃=0.03 с)

i= 10 - 14e^-1 = 10 -14/2,72 = 4,85 А.

На участке от t₃=0,03с до t₄=0,04 с

I_y = -100/10 = -10 А;

4,85 = -10 + A;   A=14,85 A

i = -10 + 14,85е^-t/0.01.                                                                            (4)
При t=0,01 с (по графику t₄=0,04 с)

i = -10 + 14,85/2,72 = -4,55 А.

     Значения времени для точек А, Б, В графика i(t), В которых ток равен нулю, определяются из уравнений (2) - (4).
Точка А:

 0 = -10 + 16,33е^-t/0.01; 1/e^t/0.01 = 10/16.33; e^t/0.01 = 16.33/10;

откуда t=0,0049 с или по графику

     t_A =0,01+t = 0,01+0,0049 = 0,0149 с.

Точка Б:

0=10 - 14e^-t/0.01;

t=0,00337 с или пo графику t_Б = 6,62+0,00337=0,02337 с.

Точка B:

    0 = -10 + 14,85е^-t/0.01;

t = 0,00395 с или по графику t_В=0,03+0,00395 = 0,03395 с.

Задача 5-5.Р. Напряжение, приложенное к цепи рис. 5.2, изменяется по закону u=282+282 sin 314 t. Сопротивление r=30 Ом, емкость С=80 мкФ. Определить действующее значение тока цепи. Указать правильный ответ

1. 9,4 А. 2. 12,6 А. 3. 5,6 А. 4. 4 А. 5. 5,8 А

Решение 5-5

По отношению к постоянной составляющей напряжения сопротивление конденсатора равно бесконечности, что вытекает из выражения

х_с= 1/ωΡ= 1/0 Ρ = ∞.

Поэтому постоянной составляющей тока в цепи не будет. Сопротивление х_С для переменной составляющей напряжения, изменяющейся с частотой ω = 314 рад/с, составит

х_с = 1/ωΡ= 1*10⁶/314*80 = 40 Ом. Полное сопротивление цепи

Действующее значение тока в цепи I = U/z = 282/√2*50 = 4 А.

Задача 5-12. Напряжение u цепи рис. 5.12 изменяется по закону Ом. Определить действующие значения тока первой гармоники I₁, третьей гармоники I₃, тока I, а также напряжение U_r. Указать неправильный ответ.

1. I₁ = 4A
2. I₃ = 4A
3. I = 5A
4. U_r = 500В

Ответ: 4.

Решение 5-12

Электрическая цепь относительно напряжения, изменяющегося с частотой 3× w , находится в состоянии резонанса напряжений, так как по условию . Поэтому действующее значение тока третьей гармоники равно

А.

Сопротивление в 3 раза больше, чем при частоте 3× w :

Ом;

Ом.

Полное сопротивление цепи для первой гармоники равно

Ом.

Действующее значение тока первой гармоники равно

А;

то же тока

А.

Действующее значение напряжения на резисторе r равно

В.

                             Определить напряжение U, если  

Методические указания

1. Записать уравнение по закону Кирхгофа для мгновенных значений и в векторной форме. Построить векторную диаграмму.
2. Определить действующие значения напряжения.
3. Установить систему Вольтметра для измерения действующего значения напряжения.

По показаниям приборов определить параметры потребителя, если известно, что он активно-индуктивного характера (соединение последовательное).

Методические указания

1. Определить параметры R, L, x1, Z .
2. Определить значение э. д. с. самоиндукции.
3. Построить диаграмму цепи.

Определить ток, активную, полную и реактивную мощности, коэффициент мощности. Построить векторную диаграмму.

Методические указания

1. Для построения векторной диаграммы необходимо определить все составляющие напряжения.
2. Как изменится ток, если в катушку внести ферромагнитный сердечник? (потери в сердечнике не учитывать).
3. Как изменится ток, если изменить емкостное сопротивление, при котором в цепи возникнет резонанс. Чему будет при этом равно напряжение на конденсаторе?

Определить напряжение Uав, если R1=R2= R3=xc.  U=220 В.

Методические указания

1. Поставить вопрос: как будет меняться напряжение Uав по модулю и по фазе при переменном R3? Построить круговую диаграмму.
2. Рассказать студентам, что данная схема является фазовращающим мостом – четырехполюсником, используемым для получения сдвига по фазе одного синусоидального напряжения относительно другого, в том числе и регулирования фазы.
3. Изменятся ли свойства регулирования фазы выходного напряжения, если  R₁ и R₂ заменить на x_L1=x_L2?

                U1=U2=100 В. U2 отстает по фазе от U1 на 90º. R=Xc=10.0 Ом. Определить ток.

Методические указания.

<spoiler title=Задача №7 opened=0}

1. Построив векторы напряжений, обозначить их комплексными числами.
2. Записать уравнение для определения тока в символическом виде.
3. Построить вектор тока. Записать закон его мгновенных изменений.

U=100 В. 
R1=6.0 Ом
R2=8.0 Ом
X1=6.0 Ом
X2=8.0 Ом 

Определить показания приборов.

Дано:

Определить эквивалентное сопротивление схемы и значение общего тока в комплексном виде.

Ответ:  - нагрузка активно-индуктивная;

Как изменится ток I и напряжение на параллельно включенных потребителях  Ом).

Ответ: I и  увеличатся.

Указание: решить в общем виде. 

Определить напряжение  (рис.4). Построить векторную диаграмму.

                     Дано:                     

                    Ответ: 

Как изменится I, f, , если в катушку ввести ферромагнитный источник (рис. 5). Потерями мощности пренебречь.

Считать, что B(H) до насыщения линейна. Сердечник не насыщен.

Указание: построить круговую диаграмму.

Ответы: I – уменьшится;  f – увеличится;   - увеличится.

Две индуктивно связанные катушки соединены последовательно (рис. 6). Определить ток I в цепи, если известно: ,

Рис.6.

Ответ: А

Как изменится показание амперметра (рис. 7), если катушки  приблизить друг к другу?

Рис.7.

Ответ: увеличится.

По графику мгновенной мощности (рис. 8) определить S, P, Q и .

Ответ:

Рис. 8.

Определить действующее значение тока I. Мощности S, P и Q. Построить векторную диаграмму цепи (рис. 1).

Дано:

• U=100 В
• r=12 Ом
• L=90 мГ
• C=125 мкФ
• ω=400 рад/с.

Ответ: I=5 А.

S=500 ВА      P=300 Вт     Q=400Вар.                      _     _

Указание: пояснить, что взаимное расположение U и I=5 соответствует rэ иxэ всей цепи; в данном случае нагрузка активно-индуктивная.

Как изменится ток I и напряжение на катушке Uк (задача № 1), если положить Xc=0.

Ответ: I – уменьшится, Uк – уменьшится.

Указание: решить в общем виде (без расчета), построить векторную диаграмму.

Как изменятся ток I и напряжение Uс (задача №1), если в катушку внести ферромагнитный сердечник. Потерями мощности в сердечнике пренебречь.

Указание.

Считать, что B(H) до насыщения – линейна (μа=const). Сердечник не насыщен.

Ответ: I – уменьшится, Uс – уменьшится.

Определить действующие значения токов I1 и I2. Рассчитать ток İ, потребляемый всей цепью (рис.2).

           Дано: Ů=100 В 

    r1=3 Ом; r2=4 Ом; Xc =3 Ом.

       Ответ:  I1= I2 =20 А

Указания.

1.     Обратить внимание студентов на то, что при параллельном соединении действующие значения токов потребителей (I1 и I2 ) проще всего определить так же, как при последовательном соединении

1. Аналитический расчет общего тока цепи I возможен либо с применением комплексных чисел, либо методом проводимостей. А именно:

1)      

2)    

3.     Нарисовать векторы Ů и İ. Указать, что нагрузка всей цепи активно-емкостная.

Как изменятся напряжения потребителей U1, Uс, UL, U2 и ток I (задача №4), если параллельно 2-ой ветви (рис.2) включить третье сопротивление r3.

Ответ: напряжения потребителей  U1, Uс, UL, U2 – не изменятся.

I – увеличится до I `.

Указание: изменение I обосновать построением векторной диаграммы:

Ī`=Ī+Ī3 , где  .

Определить характер нагрузки цепи (рис.3). Рассчитать ток I.

Построить частотные характеристики X_L,X_c, Z, I.

Методические указания

1. Графики построить в единых осях координат.
2. Отметить, что промышленная частота 50 – 400 Гц практически не влияет на величину активного сопротивления.

Как изменятся показания амперметра при увеличении расстояния между катушками?

Методические указания

1. Определить характер включения – встречное или согласное?
2. Изобразить электрическую схему устройства с указанием начал катушек.

Определить напряжение

Uав, если R1=R2= R3=xc.  U=220 В.

Методические указания

1. Целесообразно решить задачу путем построения векторной (круговой) диаграммы.
2. Обратить внимание на то, что данная цепь является фазовращающим мостом – четырехполюсником, используемым для получения сдвига по фазе Uав относительно U.
3. Выяснить, будет ли цепь выполнять те же функции, если  R1 иR2 заменить на x_L1=x_L2?