Задача 2-10.Р. Ток в цепи рис. 2.10 изменяется по закону i = I_msin ωt. Какое из приведенных выражений несправедливо, если U_L > U_C?

1. i = I_msin(ωt + φ)          2. u_L = U_mL sin(ωt + π/2)          3. u_r = U_mr sin(ωt)      4. u_C = U_mCsin(ωt + π/2).

Решение 2-10

Так как U_L > Uc, то X_L > X_C . В этом случае на­пряжение, приложенное к цепи, опережает по фазе ток i на угол φ.

Если ток в цепи изменяется по закону i = I_m sin ωt, то u  = U_msin(ωt + φ).

Напряжение на активном сопротивлении совладает по фазе с током:

u_r = U_rmsin ωt.

Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90°:

u_C = U_Cmsin (ωt – π/2).

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90⁰:

u_L = U_Lm sin (ωt + π/2) 

Задача 2-18. Р. Определить активное, индуктивное и полное сопротивления катушки из медного провода электромагнитного устройства (реле, электромагнита и т.п.) рис. 2.18, а при притянутом (l₀ = 0) и непритянутом (l₀ ≠ 0) якоре.

Дано l = 140 мм, l₂ = 60 мм, S= 4 см², эквивалентный воздушный промежуток при непритянутом якоре l_0экв = 12 мм, ω = 800, средняя длина витка катушки l_ср = 120 мм, сечение провода катушки S_np = 0,6 мм², f = 50 Гц. Кривая намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода В(Н) изображена на рис. 2.18, 6. Потоками рассеяния и выпучивания пренебречь. Предполагается работа на линейном участке кривой намагничивания. Указать неправильный ответ.

При l₀ = 0:     1. r = 2,8 Ом.           2. x_L = 200 Ом.              3. x = 200 Ом.

При l_0экв = 12 мм:       4. x_L = 8 Ом.            5. z = 10,8 Ом

Решение 2-18

1. Активное сопротивление катушки (оно не зависит  от значения воздушного зазора)

2. Индуктивность и индуктивное сопротивление катушки при l₀ = 0

x_L = 2π*f*L = 200 Ом.

3. Полное сопротивление катушки при l₀ = 0

4. Индуктивность и индуктивное сопротивление катушки при l = 12 мм

H₀l₀ + H_CTl_CT = B₀l₀/μ₀ + H_CTl_CT = I_w

При B = 1 Тл получим 12*10^-3/(1.256*10^-6) + 20*20=I*800;

I = 12,56 A;

L = ψ/I = B*S_CT*ω/I = 0.0255 Гн.

x_L = 2π*f*L = 8 Ом.

5. Полное сопротивление катушки при l₀ =12 мм
6. Отношение полных сопротивлений катушки при l=0 и l₀ =12 мм

Z _l0=0/Z _l0≠0 = 200/8.5 =23.5

С учетом потоков рассеяния и выпучивания индуктивное сопро­тивление катушки будет несколько больше.

Задача 2-25.Р. Определить индуктивность L катушки, используя результаты двух опытов:

а) когда катушка включена в сеть переменного тока с напряжением U=200 В и частотой f=50 Гц, ток в катушке I=4 A;

б) когда катушка включена в сеть постоянного тока с напряжением (U=200 В), ток в катушке I=5 A. Указать правильный ответ.

1. 0,2 Гн.         2. 0,4 Гн.          3. 1 Гн.     4. 0,1 Гн.          5. 0,8 Гн.

Решение 2-25

Полное сопротивление катушки определяется по показаниям приборов при включенной катушке в сеть переменного тока:

z = U/I =200/4 = 50 Ом.

Активное сопротивление катушки определяется по показаниям при­боров при включенной катушке в сеть постоянного тока:

r = U/I = 200/5 = 40 Ом.

Индуктивное сопротивление катушки ,

 следовательно, индуктивность L = x/(2π*f) = 30/(2*3,14*50) ≈ 0,1 Гн.

Задача 2-31.Р. В электрической цепи рис. 2.31 I = 5 А, f = 50 Гц, U₁ = 50 В, U₂ = 100 В,  U₃ = 60 В. Какие будут напряжения, если при том же токе 5 А частота возрастает до 100 Гц? Указать неправильный ответ.

1. U₁ = 50 В.       2. U₂ = 200 В.        3.U₃ = 30 В.    4. U = 280 В.

Решение 2-31

Увеличение частоты в 2 раза приведет к увели­чению в 2 раза индуктивного сопротивления и уменьшению в 2 раза емкостного сопротивления, так как x_L = 2π*f*L , x_C = 1/2π*f*C

Активное сопротивление практически не изменится.

При частоте f = 100 Гц напряжения на отдельных участках цепи составят:

на активном сопротивлении: U₁ = Ir = 5.50/5 = 50 В;

на индуктивном сопротивлении: U₁ = I*2x_L =  5*2*100/5= 200 В, где x_L - индуктивное сопротивление при f = 50 Гц;

на емкостном cопротивлении U₃ = 1₂х_с/2 = (5-60 /5) / 2 = 30 В, где х_с -  емкостное сопротивление при f=50 Гц.

Напряжение сети

Задача 2-40.Р. Характер нагрузки какой из цепей рис. 2.40 указан непра­вильно, если x_C = x_L = r?

1. Активно-индуктивный. 2. Активно-емкостный. 3. Активный. 4. Ак­тивно-емкостный. 5. Активно-индуктивный.

Решение 2-40

Характер нагрузки в данном случае наиболее просто определяется из соотношения индуктивной и емкостной реак­тивных мощностей цепи.

Для первой цепи Q_L =I²_Lx_L > Q_C = I²_Cx_C

так как I²_L = U/x_L > I_C = U/(r² + x² _C)^0.5

Следовательно, характер нагрузки цепи активно-индуктивный. Для второй цепи Q_C = I²_Cx_C > Q_L = I²_Lx_L   

В третьей цепи существует резонанс напряжений: Q_C = I²_Cx_C = Q_L  = I²_Lx_L, следовательно, характер нагрузки активный.

В четвертой цепи существует резонанс напряжений: Q_C = Q_L . Ха­рактер нагрузки активный.

Для пятой цепи Q_C = I²_Cx_C < Q_L  =  I²_Lx_L, так как

откуда I_L > I_C

Следовательно, характер нагрузки активно-индуктивный.

Задача 2-42.Р. Катушка, обладающая активным сопротивлением r =30 Ом и индуктивным  x_L = 40 Ом, подключена к сети переменного тока с на­пряжением U=100 В. Определить действующее значение ЭДС самоин­дукции Е, возникающей в катушке. Указать правильный ответ.

1. 100 В.         2. 40 В.         3. 80 В.       4. 90 В.         5. 10 В.

Решение  2-42

Электродвижущая сила самоиндукции в катуш­ке   по  модулю   равна напряжению   на   индуктивном   сопротивлении │E│=│U_L│.Ток в цепи

ЭДС индуктивной катушки │E│=│U_L│=│I*x_L│=2*40=80 В.

Задача 2-51.Р. Определить показания приборов цепи рис. 2.51. Указать не­правильный ответ.

1. I = 10 А.       2. U₂  = 200 В.        3. Р = 1000 Вт.         4. U₁ = 100 В.

Решение 2-51  

Сопротивление  z_АБ участка цепи аб можно оп­ределить с использованием проводимостей.

Проводимость

Сопротивление z_АБ = х_АБ = 1/b_АБ = -20 Ом. Знак минус указывает на емкостный характер сопротивления. Ток цепи

Показание вольтметра V₂

U₂ = Ix_L= 10*20 = 200 В.

Показание вольтметра V₁

U₁ = Ix_АБ =10*20 = 200 В.

Показание ваттметра равно активной мощности части цепи, распо­ложенной справа за точками в и г: Р = I² r  =10²*10= 1000 Вт.

Задача 2-59. Как изменятся показания приборов цепи рис. 2.59 при введении в катушку ферромагнитного стержня, если до и после введения X_C > X_L? Потерями мощности в стержне пренебречь. Указать неправильный ответ.

1. U_L увеличится. 2. U_r уменьшится. 3. P уменьшится. 4. I₁ уменьшится.

Рис. 2.59

Ответ: 4

Решение 2-59

При введении внутрь катушки ферромагнитно­го стержня увеличатся индуктивность и, следовательно, индуктивное сопротивление катушки. Проводимость участка цепи между точками а и б при этом уменьшается, что следует из выражения b_a6=l/X_L- 1/Х_C.

Сопротивление Z_аб=х_аб =1/ b_a6 возрастает.  Увеличится  также сопротивление всей цепи

B результате ток в цепи I = U/z уменьшится.

Показания вольтметра V_r и ваттметра W также уменьшатся, так как U_t =Ir, P=I²r.

Из уравнения следует, что при уменьшении  U_t  напряжение  U_a6=U_L увеличится. Последнее приведет к увеличе­нию тока I_C , поскольку I₁ =I_C = U_a6/x_C.

Задача 2-69. Будут ли изменяться напряжение U_аб и его фаза относи­тельно напряжении сети U при перемещении движка реостата цепи рис. 2.69. Указать правильный  ответ.

1. U_аб не изменится, фаза не изменится. 2. U_аб изменится, фаза не изменится, 3. U_аб не изменится, фаза изменится. 4. U_аб изменится, фаза изменится.

Ответ: 3

Решение 2-69

Решение задачи наиболее целесообразно произ­вести с использованием векторной диаграммы. Так как ветви цепи соединены параллельно, ток в .каждой из них зависит только от па­раметров данной ветви. Ток I₁ = U/2r не зависит от сопротивления r_р и совпадает по фазе с напряжением сети. Ток

зависит от сопротивления r_р  и отстает по фазе от напряжения

При   перемещении   движка  рео­стата   влево   его   сопротивление  r_P  уменьшается, ток I₂увеличивается, cos φ  уменьшается,  угол φ  увеличи­вается.  Векторная   диаграмма   для двух положений движка реостата, которым соответствуют сопротив­ления r’_р > r’’_P, приведена на рис. 13.2.69. Диаграмма строится на осно­вании уравнения                

Треугольники напряжений вгб' и вгб" прямоугольные. Геометри­ческим местом начал векторов I₂x_L, является окружность, диаметр ко­торой равен длине вектораU, а центр находится в точке а.

По второму закону Кирхгофа  (см. рис. 2.69) можно написать

На основании последнего равенства на рис. 13.2.69 построены век­торы U'_a6 и U _аб для двух значений сопротивления r_р. Как видно, зна­чение напряжения U_a6 не зависит, а фаза зависит от положения движ­ка реостата r_р.

Задача 2-75.P. К электрической цепи рис 2.75 подведены два напряжения u₁=U_m1sinωt и u₂=U_m2sin(ωt-π/2). Какое из приведённых выражений для мгновенного тока справедливо, если r=x_L, U_m1=U_m2=U_m? Указать правильный ответ.

1.  2.  3.                    4. 

Эквивалентное напряжение, действующее в кон­туре,

По условию напряжения U₁ и U₂ сдвинуты по фазе на 90° и рав­ны по значению. Поэтому

Ток в цепи

Так как r = x_L , то угол φ сдвига фаз между напряжением U_Эм и током I_m составит 45°, что вытекает из выражения tg φ = x_L/r=l.

По условию задачи и полученным результатам можно построить векторную диаграмму (рис. 13.2.75), на основании которой легко полу­чить следующее выражение мгновенного значения тока:

Рис. 13.2.75

Задача 2.82.P. Как следует выразить комплексные токи İ₁ İ₂ и напряже­ния Ů и Ů_L цепи рис. 2.82, если İ₃=I₃e^j0  и x_L > x_C? Указать неправиль­ный ответ.

1. u = U_msin(ωt + 60⁰) , i = I_msin(ωt)

2. u = U_msin(ωt + 120⁰) , i = I_msin(ωt)

3. e = E_msin(ωt + 30⁰) , i = I_msin(ωt ± 20⁰)

4. Ė = Ee ^j20 , İ = Ie ^j60

5. Ů = Ue ^j20 , İ = Ie^j180

Решение 2-82

Для решения задачи необ­ходимо изобразить комплексную плоскость и на­нести на ней векторы, соответствующие комплек­сам искомых величин.                   

Вектор тока İ₃ должен сов­падать с осью действительных величин по усло­вию задачи (рис. 13.2.82).                                                                   

Так как x_L > x_C , вектор напряжения Ů опережает по фазе ток  İ₃ на 90° и, следовательно, будет совпадать с осью мнимых величин. 

Ток  İ₂ отстает от напряжения  Ů_L на угол φ, а ток  İ₁ совпадает по фазе с напряжением.

Hапряжение  Ů_L опережает ток İ₂ на 90°. На основании полученного распо­ложения векторов можно написать

Рис.13.2.82

Задача 2-98.Р. На рис. 2.98 изображены участки пяти сложных электриче­ских цепей, напряжения, ЭДС и токи в которых

1) u = U_m sin (ωt + 60°), i = I_m sin(ωt) .

2) u = U_m sin (ωt + 120°), i = I_m sin(ωt) .

3) e = E_m sin (ωt + 30°), i = I_msin (ωt ± 20°).

4) Ė = Ее ^j20, İ = Ie ^j60.

5) Ů = Ue ^j20 , İ = Ie ^j180.

Определить, в каком режиме по активной мощности работают предполагаемые источники и приемники энергии. Указать неправиль­ный ответ.

1.Источника. 2. Приемника. 3. Приемника. 4. Источника. 5.Приемника.

Решение 2-98

Показанные на­правления тока и напряжения или то­ка и ЭДС говорят о том, что в случаях1, 2 и 4 предполагаются источники, а в 3 и 5 — приемники энергии. Действительный режим работы в каждом из случаев может быть выявлен или с помощью графика мгновенной мощности, вектор­ной диаграммы или выражения актив­ной мощности. Для случая 1 на рис. 13.2.98,а  изображены графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности. Из графика следует, что сред­няя активная мощность положительная. Из векторной диаграммы (рис. 13.2.98, б) следует, что вектор I_a, представляющий собой проекцию вектора тока на вектор напряжения, совпадает по направлению с вектором напряжения, т. е. составляющая тока, обусловливающая активную мощность, положительна.Угол между напряжением и током φ= 60—0=60°.   Активная мощность Р = UI cos φ = UI cos60° положительна, так как cos 60⁰ положительный.

Все три способа доказывают, что в первом случае предполагаемый источник работает в режиме генератора, так как развиваемая им мощ­ность положительная, т. е. генератор отдает энергию в остальную, не указанную на рис. 2.98 часть цепи.

Для случая 2 на рис. 13.2.98, в изображены графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности. Активная мощность имеет от­рицательное значение. Из рис. 13.2.98, г следует, что активная состав­ляющая тока I_а не совпадает с направлением вектора напряжения.

Из выражения активной мощности следует,  что в данном случае

Р = UI cos φ = UI cos 120°

имеет отрицательное значение, так как cos 120⁰ отрицательный. Таким образом, оказалось, что активная мощность предполагаемого источни­ка во втором случае имеет отрицательное значение, а это означает, что этот источник работает в режиме потребителя. Для определения режимов    работы в остальных случаях    можно ограничиться одним способом.Активная мощность в третьем случае
Р = El cos φ= El cos (30 ± 20°)

положительная, следовательно, в данном случае предполагаемый при­емник работает в режиме потребителя,

Активная мощность в случае 4 может быть определена из выра­жения

S = EI* = Ее ^j20° Ie -^j60° = Eie^-j40° = El cos (- 40°) -  jEI sin (- 40°) = P + jQ.

Активная мощность оказалась положительной. Следовательно предполагаемый источник в случае 4 работает в режиме источника. Активная мощность в случае 5

S = U I* = Ue^j120° Ie^-j180°= UIe^-j160° = UI cos (- 160°)— jUI sin (-160°) = -P + jQ ;      

имеет отрицательное значение. Следовательно, предполагаемый прием­ник в случае 5 в действительности работает в режиме источника.

    

Задача 2-103.Р. Как изменятся показания приборов при увеличении рас­стояния между двумя индуктивно-связанными и включенными встреч­но катушками (рис. 2.103)? Указать правильный ответ.

 1. I увеличится. 2. U₂ увеличится. 3. U₁ не изменится. 4. Р уменьшится.

Решение 2-103

Эквивалентная    индуктивность    включенных встречно катушек выражается следующим образом:

 При увеличении расстояния между катушками магнитная связь между ними и, следовательно, коэффициент связи к уменьшаются. В результате увеличиваются эквивалентныеиндуктивность и индуктивное сопротивление:

x = 2π*f*L .

Ток в цепи и напряжение на активном сопротивлении при этом уменьшаются, так как

Из уравнения Ů = Ů_L + Ů_r = Ů₁ + Ů₂  следует, что с уменьшением напряжения U₂при неизменном U напря­жение U₁ будет увеличиваться. Показание ваттметра, измеряющего ак­тивную мощность, уменьшится, так как Р = I² r.

Задача 2-106.Р. В результате проведения двух опытов определено индук­тивное сопротивление цепи, состоящей из двух индуктивно-связанных катушек. Оказалось, что при согласном включении x_C=400 Ом, при встречном x_B =200 Ом. Определить взаимную индуктивность M,если ω=500 рад/с. Указать правильный ответ.

1. 0,2 Гн.      2. 2 Гн.          3. 0,1 Гн.           4. 1 Гн.                         

Решение 2-106

При согласном включении катушек х_С = x_L1  + x_L2 + 2x_M, а при встречном включении x_B = x_L1 + x_L2 - 2х_м.

Вычитая из первого выражения второе, получаем x_C  - х_B = 4х_м, откуда 

х_м = (х_C - х_B)/4 = (400-200)/4 = 50 Ом.

Из выражения x_M = ω M следует М = х_м/ ω  = 50/500 =0,1 Гн.

Задача 2-109.Р. Определить индуктивное сопротивление цепи рис. 2.109, обусловленное взаимной индуктивностью, а также напряжения U₁, U₂ и ток I, если U=180 В, x₁=5 Ом, x₂=20 Ом, коэффициент связи k=0,8, r₁=r₂=0. Указать неправильный ответ.

1. x_M=8 Ом.         2. I = 20 А.       3. U₁ = 120 В.            4. U₂=240 В.

Рис. 2.109

Решение   2-109

Эквивалентная индуктивность цепи равна  

Умножив левую и правую части на ω, получим

Эквивалентное индуктивное сопротивление цепи равно 

Индуктивное сопротивление, обусловленное взаимной индукцией: 

Эквивалентные сопротивления катушек равны х_ЭКВ1 = х₁ - х_М = 5 - 8 = -3 Ом, х_ЭКВ2 = х₂ - х_М = 20 - 8 = 12 Ом,

Ток в цепи равен I = U/ х_ЭКВ = 180/9 = 20 A.

Напряжения U₁ и U₂:

U₁ = İ j х_ЭКВ1 = 20j(-3) =-j60 ; U₁ = 60 B ; U₂ = İ j х_ЭКВ2 = 20*j*12 = j240 ;U₂ = 240 B.

Задача 2-124.Р. В каком из графиков: Рис. 2.124б для цепи рис. 2.124а допущена ошибка?

1.I(f)        2. x_L(f)          3. U_L(f)         4.x_C(f)        5. z(f).

Решение 2-124

Индуктивное сопротивление изменяется прямо пропорционально частоте: x_L=2πfL. При f=0 x_L=0, при f→∞ x_L →∞. График зависимости x_L (f) представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Емкостное сопротивление изменяется обратно пропорционально ча­стоте: x_c = 1/2πfC. При f=0  х_с= ∞ , при  f→∞ х₀  →0. График зависи­мости x_C (f) представляет собой гиперболу.

Полное сопротивление цепи равно

 При f  = 0 z = ∞, так как x_C  =  ∞, при f = f_Р  : z = r, так как X_L=X_C , при f →∞ z →∞, так как x_L→∞. График зависимости z(f) имеет вид, изображен­ный на рис.2.124 б.

Ток в цепи I = U/z .При f = 0 : I=0 , при f →∞ : I →0 , при f = f_P ток имеет максимальное значение I = U/r . Напряжение равно 

При f=0 U_L= 0 , при  f →∞ U_L → U . Максимальное значение на­пряжения U_L будет при частоте несколько больше, чем f_р. Это легко обнаружить, если взять производную dU_L/df и приравнять ее нулю, выразив предварительно X_L и x_C через частоту.

Задача 2-139.Р. Какова зависимость полных сопротивлений всей цепи z рис. 2.139 и участкааб (z_АБ) от частоты, если r₁ = r ? Указать правиль­ный график.

Решение 2-139

1. Определим сопротивление участка цепи z_аб. При f = 0 : x_с = ∞,     x_L = 0 ,z_аб = r₁ . При f →∞ : x_с → 0 x_L →∞ ,z_аб → 0 . При  f = f_р реактивная проводимость цепи b_аб =b₁ - b_C = 0, а активная проводимость g_аб = g_L = r₁/(r²₁ + r²_L) ; в этом случае     z_аб = r_аб = 1/ g_аб =(r²₁ + x²_L)/r₁

2.Определим сопротивление всей цепи z. При f =0 z = r + r₁. При f=f_p z = r + r_аб = r + (r²₁ + x²_L)/r₁. При f→∞ z → r. 

Задача 2-146.Р. При резонансе токов в цепи рис. 2.146  I₁ =10 A, I₂ =5 A, x_c =40 Ом. Определить индуктивное сопротивление x_L . Указать пра­вильный ответ.

1. 40 Ом.        2. 20 Ом.           3. 10 Ом.         4. 80 Ом.

Решение 2-146

При резонансе токов имеем Q_L = Q_C  или  I²₁*x_L = I²₂*x_C , откуда x_L= x_C* I²₂/ I²₁ = 40*5²/10²= 10 Ом.