Задача 4-4.Р. Какое из приведенных выражений несправедливо для переходного процесса в цепи рис. 4.4, возникающего при замыкании выключателя?

1.               2. 

3.             4. 

Рис. 4.4 

Решение 4.4

По второму закону Кирхгофа для переходного процесса

e_L=ir-U.   (1)

Выразив e_L  через  -Ldi/dt, после преобразований получим

τ di / dt + i = U/r,                  (2)

где τ =  L / r- постоянная времени контура.

Для удобства анализа и расчета переходных процессов ток в цепи при переходном процессе представим состоящим из двух составляющих:

i = I_y + i_CB                          (3)

где I_y - установившаяся составляющая тока; i_CB - свободная составля­ющая тока.

Установившаяся составляющая тока определяется по закону Ома, а свободная составляющая — из решения дифференциального уравне­ния (2) относительно свободного тока без правой части.

Решением последнего уравнения является выражение

i_CB=Ae^pt,                            (4)

где р — корень характеристического уравнения τp + 1 =0.

Очевидно, р = -1/τ. Следовательно, i=U/r+Ae^-t/τ . Постоянная интегрирования Аопределяется из начальных условий на основании первого закона коммутации. При t = 0 , i =0;A= -U/r. После подстановки в уравнение (4) значения А получим

                                                                                     (5)

Выражение ЭДС может быть найдено путем, подстановки (5) в (1):

откуда е_L = -Ue^-t/τ .

Напряжения определяем по закону Ома:

u_L = -e_L = Ue^-t/τ .

Задача 4-5.Р. Какое из приведенных выражений несправедливо для переходного процесса в цепи рис. 4.5, возникающего при включении выключателя?

1.     2.      3.

Решение 4-5

По второму закону    Кирхгофа для переходного процесса справедливо

0 =ir + u_С - U.                           (1)

Подставив в (1) вместо тока его выражение i=CdUf/dt, получим

τ du_C /dt + u_C = U                     (2)

     где τ = rC — постоянная времени цепи. Решение уравнения (2) имеет вид

u_C = U_Cy + u_{C CB} = U_Cy + Ae^pt   (3)

В  формуле(3) р —корень характеристического уравнения τp + 1 = 0. Очевидно, р = 1/τ. 
Постоянную интегрирования А определяем из начальных условий, исходя из второго закона коммутации, говорящего о том, что напряже­ние на конденсаторе не может изменяться скачком. Если до включения выключателя u_C = 0, то и после включения, т. е. при t = 0, u_C = 0.
Подставив 'в формулу (3)  t=0 и i = U/r , получим А =U_Су = -U. Окончательно имеем

u_C = U - Uе^-t/τ .        (4)

После подстановки (4) в (1) получим уравнение для тока при пе­реходном процессе i = Ue^-t/τ/r. Поэтому u_r = ir =Ue^-t/τ .

Задача 4-15.Р. Определить начальное значение ЭДС самоиндукции цепи рис. 4.15 при замыкании выключателя. Указать правильный ответ.

1. –U/2
2. 2U
3. 0
4. U
5. U/4

Решение 4-15

Как следует из первого закона коммутации, до замыкания выключателя и после его замыкания при t = 0 ток в ветви c индуктивностью должен иметь одно и то же значение.

До замыкания выключателя I = U/2r ;  после замыкания i = I_НАЧ = (U + E_НАЧ)/r

Приравняв токи, получим U/2r = (U + E_НАЧ)/r , откуда Е_НАЧ = -U/2.

Задача 4-22.Р. Определить начальные значения токов i₁, i₂, i₃, а также напряжений u₂ и u_L цепи рис. 4.22 после замыкания выключателя. Указать неправильный ответ.

1. _{I3нач = 0.}
2. _{I2нач = U/(r1 + r2).}
3. _{I1нач = U/(r1 + r2).}
4. _{U2нач  = Ur2/(r1 + r2).}
5. _{ULнач = Ur3/(r1 + r2).}

Решение 4-22

Ток i₃  в  ветви с индуктивностью L до замыкания выключателя был равен нулю. Следовательно, и после включения выклю­чателя, при t = 0, i₃ = I_3НАЧ = 0. Это равноценно тому, что эквивалентное сопротивление ветви с индуктивностью L после замыкания выключателя при t=0 равно бесконечности. Напряжение на емкости до замыкания выключателя было равно нулю. Значит, и после замыкания, при t=0, u_C = U_C НАЧ = 0

Следовательно, начальные значения искомых величин равны I_1 НАЧ = I_2 НАЧ =      = U/(r₁ + r₂); U_2НАЧ = I_2 НАЧ r₂ = Ur₂/(r₁ + r₂); U_L НАЧ = Ur₂/(r₁ + r₂).

Задача 4-29.Р. По какому закону будут изменяться напряжения и токи в цепи рис. 4.29 при переходном процессе, вызванном размыканием вы­ключателя, если r₁ = r₂ = r  ? Указать неправильный график.

l. i(t) 2. i₁(t) 3. i₂(t) 4. u_L(t) 5. u_r(t).

Решение 4-29

Необходимые для построения графиков токов и напряжений зависимости могут быть получены путем совместного ре­шения трех уравнений, составленных по законам Кирхгофа:

i = i₁ + i₂ ;                    (1)

е = - Ldi₁/dt = i₁r₁ - U + ir;    (2)

0 = ir + i₂r₂ - U           (3)

Совместное решение (1), (2) и (3) относительно i₁ дает дифферен­циальное уравнение

Решение (4) может быть представлено в виде i₁ = I_1y + Ae^pt.   (5)

Установившийся ток можно определить, если в (4) принять di₁/dt. Тогда

i₁ = I₁y = U(r₁ +r₂)(rr₁ + r₁r₂ + rr₂)2

Из характеристического уравнения                                              имеем

Постоянная времени τ = 1/р =L(r₁ + r₂)/ rr₁ + r₁r₂ + rr₂). Постоянная интегрирования А определяется из начальных условий: при t = 0 , I_1НАЧ = U/r. Подставив в (5) t = 0 и i₁ = U/r,получим А = U/r - I_1y . Окончательно i₁ = I_1y + (U/r - I_1y)e^-t/τ  (6).

Аналогичным образом можно получить выражения для остальных искомых величин. Так как остальные искомые величины будут изменяться по экспоненциальному закону с той же постоянной времени, достаточно ограничиться определением их начальных и установившихся значений. Определив начальные и конечные значения искомых величин, можно составить представление о характере их изменения. График u_L(t) изображён неправильно.

Задача 4-35. Р. Магнитодвижущая сила катушки составляет 4000 А. Катуш­ку можно выполнить со следующими параметрами: а) ω_A =1000 вит­ков, I_A =4 А; б) ω_Б =  =2000 витков, I_Б =2 А; в) ω_В =4000 витков, I_B = 1 А.

Определить, в каком соотношении находятся сопротивления, напря­жения, индуктивности и постоянные времени ка­тушек, если допустить, что D_CP, l (рис. 4.35) и плотность тока J=2 А/мм² во всех случаях одинаковые. Потоками рассеяния пренебречь. Указать неправильный ответ.

1. L_A / L_Б /L_B = 1/4/16
2. r_A / r_Б /r_B =1/4/16.
3. U_A / U_Б /U_B =1/2/4.
4. τ_A / τ_Б /τ_B =1/2/4.

Решение 4-35

Для катушки можно написать следующие урав­нения:

U = Ir,                                                                         (1)

J = US;                                                                        (2)

r = l_CP ω/γS                                                                 (3)

Из совместного решения (1) - (3)  получим

U = JSr = J*l_CP*ω/γ                                                    (4)

 r = l_CP*ω*J/γI                                                             (5)

Подставив значение ω в  (4)  и взяв отношение напряжений, получим

U_A: U_Б: U_B= ω_А: ω_Б: ω_В = 1000:2000:4000 =1:2:4

Подставив значения ω и I в  (5) и взяв отношение сопротивлений, получим

r_A: r_Б: r_В =(1000/4):(2000/2):(4000/1) = 1:4:16. Индуктивность катушки определяем из выражения

L = ω²*S*μ_A/l                                                            (6)

Подставив значение ω в (6) и взяв отношение индуктивностей, по­лучим

L_A: L_Б: L_B= ω²_А: ω²_Б: ω²_В = 1000²:2000²:4000² = 1:4:16.

Постоянные времени определяем из выражения

τ = L/r                                                                         (7)

Подставив в (7) значения L и r и взяв отношение постоянных вре­мени, получим

 τ_A :τ_Б :τ_В  = (1/1):(4/4):(16/16) =1:1:1.

Задача 4-48.Р. В какой момент времени периода синусоидального тока должен быть замкнут выключатель, чтобы в цепи рис. 4.47 сразу возник установившийся режим, если u = U_msinωt. Указать правильный ответ.

1. При t=0 2. При t=π/2ω. 3. При t=φ/ω (φ=arctgωL/r).

рис. 4.47

Решение 4-48

По второму закону Кирхгофа имеем

e = -L di/dt = ir - U_msin ωt.                                        (1)
Решение уравнения (1) имеет вид

i =i_у + Ае^-t/τ .                                                         (2)

В цепи сразу после ее подключения возникает установившийся ре­жим в том случае, если Ае^-t/τ =0.

До включения цепи ток был равен нулю: i=0. Следовательно, и пос­ле включения в первый момент, соответствующий искомому значению

времени периода переменного тока t_ВКЛ , ток также будет равен нулю. Подставив в (2) i = 0 иt = t_ВКЛ , получим

0 = i_у + 0 = U_m*sin(ωt_ВКЛ - φ)/z  +0:

Таким образом, переходного режима в цепи не будет, если она включается в момент времени, когда принужденный ток равен нулю.

Из  (3) sin(ωt_ВКЛ - φ) = 0  или ωt_ВКЛ - φ = 0.

Следовательно, 

Задача 4-51.Р. Какое из приведенных выражений для переходного процесса в цепи рис. 4.49 имеет ошибку, если выключатель замыкается при t=0, а напряжение сети изменяется по закону u = U_m sin(ωt + π/2)?

1. u_c=

2. i=

3.

В приведённых выражениях φ=arccos(r/z).

рис. 4.49

Решение 4-51

Уравнение электрического состояния цепи  для переходного процесса

ir + U_C = U_m sin(ωt + π/2)                                                     (1)

Подставив в (1) значение i=C du_C/dt, получим

            Cr du_C/dt + U_C = U_m sin(ωt + π/2)                             (2)

Напряжение на емкости в переходном режиме u_C = u_Cy + u_C CB .

Действующее значение установившейся составляющей напряжение на емкости

где х_C=1/2πfС.

Мгновенное значение принужденной составляющей

u_Cy = U_mx_Csin(ωt + π/2 + φ - π/2) /z = U_mx_Csin(ωt + φ)/z

Свободная составляющая напряжения на емкости «сев определяет­ся из дифференциального уравнения (2) без правой части:

Cr*du_{C CB}/dt + u_{C CB} = 0,

Откуда u_{C CB} = Ae^pt

Значение р определяется из характеристического уравнения С*r*р + 1 = 0, откуда p = -1/Cr.

Напряжение на ёмкости в переходном режиме

u_C = u_Cy + u_{C CB} = U_mx_Csin(ωt + φ)/z + Ae^-t/Cr            (3)

Постоянная интегрирования А определяется на основании второго закона коммутации. Так как до замыкания выключателя емкость была не заряжена, то напряжение на ней до и после замыкания выключателя равно нулю: u_C = (0₊) = u_C (0_-) = 0

Подставив в (3) значение u_C = 0 и  t = 0, получим

A = - U_mx_Csin(φ)/z

Уравнение напряжения на емкости в переходном режиме

u_C = U_mx_Csin(ωt + φ)/z - U_mx_Csin(e^-t/Cr )/z.                (4)
  Уравнение для тока можно получить тремя способами.

Первый способ:  путем подстановки в (1) значения u_C из (4):

i = U_mx_Csin(ωt + π/2)/r - U_mx_Csin(ωt + φ)/(z*r) + U_mx_Csin(φ e^-t/Cr)/(z*r)       (5)

Второй способ: значение тока в переходном режиме

i = i_y + i_CB

Действующее значение установившегося тока 

Мгновенное значение установившегося тока

i_y = U_m sin(ωt + π/2 + φ)/z

Свободная составляющая тока определяется из уравнения (1) без правой части, в которое вместо u_C подставлено его значение

После дифференцирования получим r*(di_CB/dt) + i_CB/C = 0. Его решение i_CB = Ae^pt  ,

где p = -1/Cr . Ток в цепи в переходном режиме i = i_y + i_CB = U_msin(ωt + π/2 + φ)/z + Ae^-t/rC (6).

       Постоянная интегрирования определяется из следующих соображений. После замыкания выключателя при t = 0 значение тока, как это вытека­ет из уравнения (1) ,

i_НАЧ = U_msin(ωt + π/2)/r = U_m/r , так как  u_C = 0 . Таким образом, после подстановки i_НАЧ и t = 0 в (6) получим A = U_m/r - U_msin(π/2 + φ)/z .

Уравнение тока i = U_msin(ωt + π/2 + φ)/z + [U_m/r + U_msin(π/2 + φ )/z]*e^-t/rC         (7).

Третий способ: ток в цепи в переходном режиме

i = C*(du_C/dt) = U_mx_Ccos(ωt + φ)*Cω/z + U_mx_CC*sin φe^-t/rC = U_msin(ωt + π/2 + φ)/z +

+ U_mx_C*sin φe^-t/rC/zr                                                                                            (8).

Структура уравнений тока  (5),  (7),  (8)  не одинаковая, и может создаться впечатление, что характер изменения тока будет в цепи раз­личным. На самом деле уравнения отражают один и тот же характер изменения тока в цепи. Докажем, например, равенство свободных со­ставляющих тока уравнений (5) и (7):

U_mx_C*sin φ/zr = U_m/r - U_msin(π/2 + φ )/z .                                                                (9)

Приведём к общему знаменателю правую часть равенства (9) и, сократив на U_m , r и z, получим

x_C*sin φ = z - r*sin(π/2 + φ )                                                                                 (10)

Подставив в (10) : sin φ = x_C/z , sin(π/2 + φ ) = cos(φ) =r/z получим x²_C/z = z - r²/z , откуда x²_C/z = (z² - r²)/z ; x²_C = z² + r².

Напряжение на резисторе u_r = ir = U_m r*sin(ωt + π/2 + φ)/z + r[U_m/r + U_msin(π/2 + φ )/z]*e^-t/rC .

Задача 4-61.Р. Электрическая цепь рис. 4.61, а состоит из последовательно включенных r, L и идеального диода Д. Напряжение изменяется по закону u=U_m sin ωt. Зависимость тока от времени цепи изображена на одном из графиков (рис. 4.61,6). Указать этот график.

Решение 4-61

Электрическая цепь рис. 4.61, а представляет со­бой выпрямитель, в котором диод Д — выпрямляющий элемент, r — приемник, L — фильтр—элемент, сглаживающий пульсации выпрям­ленного тока и напряжения.

Вследствие односторонней проводимости диода ток в цепи может иметь направление, указанное на схеме. На первый взгляд кажется, что ток в цепи будет иметь место только в положительную полуволну напря­жения сети и зависимость тока от времени соответствует графику 1 на рис. 4-61, б. В действительности такой график будет только при отсут­ствии индуктивности.

При наличии индуктивности зависимость i(t) существенно изменит­ся. Для выяснения явлений, происходящих в этом случае,    используем теорию переходных процессов. Предположим, что цепь с r к L вклю чается в сеть переменного тока в начале каждой положительной полувол­ны напряжения сети, т.е. в момент t=0 периода переменного тока. Рас­смотрим переходный процесс. Пусть напряжение сети изменяется по за­кону

u = 200 sin 314t;    r = 10 Ом;    L = 0,124 Гн. По второму закону Кирхгофа имеем e = ir - u.                                                                   (1)

После подстановки получим -L*di/dt =ir - 200*sin314t т.е. L*di/dt + ir = 200*sin314t

Ток в цепи равен i = i_y + i_CB . Установившийся ток равен i_y = U_m* sin(314t - φ);

x_L = 2πfL = 314*0.124 = 38.8 Ом ; cosφ = r/z = 10/40 = 0.25; φ = 76⁰ =(76/57) рад;

i_y = 200*sin(314t - 76/57)/40 = 5sin(314t - 76/57).

Уравнение для i_CB имеет вид L di_CB/dt + i_CB r =0; его решение имеет вид i_CB  = Ae^pt.

Значение р определяем из характеристического уравнения Lp + r = 0, т.е.

p= -r/L=  -1/τ; τ = L/r =0.124/10 =0.0124 c.

Ток в цепи равен i = 5sin (314t - 76/57) + Ae^-t/τ при  t = 0; i = 0; 0=5sin(0 - 76⁰)+ A;

A = -5sin( -76⁰ ) = 4.67.

Ток в цепи будет изменяться по закону  i = 5sin(314t - 76/57) + 4.67e^-t/0.0124     (2)

Выражение для ЭДС, возникающей в катушке, получим, если подставим в (1) значение тока из (2): e = ir -u = 5*10sin(314t-76/57) + 4.67e^-t/0.0124 - 200sin(314t).

Из графиков u , i_y , i_CB, i и е , построенных на основании получен­ных выражений (рис. 13.4.61), следует, что ток в цепи имеет место в  некоторое время отрицательный полуволны напряжения. Он поддерживается ЭДС самоиндукции е. В эту часть времени (интервал времени между точками а и б на pиc. 13.4.61) энергий магнитного поля воз­вращается в сеть и частично выделяется в виде теплоты в сопротив­лении потребителя r.

Рис. 13.4.61

Задача 4-65.Р. На рис. 4.65 изображен примерный характер изменения тока цепи задачи 4-64. Определить значения времени, при которых ток в цепи равен нулю (точки А, Б, В графика). Указать неправильный ответ.

1. 0,0149 с. 2. 0,02337 с. 3. 0,03436 с.

Решение 4-65

Для переходного процесса справедливо уравне­ние, составленное по второму закону Кирхгофа,

L*di/dt + ir = u. Ток в цепи i = I_y + i_CB

Свободная составляющая тока определяется из дифференциально­го уравнения

L di_CB /dt + i_CB r = 0;    i_CB = Ae^pt ;

где р — корень характеристического уравнения Lp + r =0,

р = - r/L;  τ = L/r.

Tок в цепи i =I_у + Ae^-t/τ .                                                                    (1)

Постоянная времени τ = L/r =0,2/10=0,01 с.

Уравнение (1) справедливо для каждого участка времени с неиз­менным значением приложенного напряжения. Определим ток для мо­ментов времени

t₁ = 0,01 с; t₂=0,02 с; t₃=0,03 с и t₄=0,04 с. На участке от t=0 до t₁=0,01 с

I_y = U/r = 100/10 =10 A; i_НАЧ= 0;  0 = 10 + A; A = -10A; i=10 - 10e^-t/0.01.

Для t=0.01 c i=10 -10e^-t ; i = 10 - 10/2.72 = 6.33 A.

На участке от t₁=0,01 с до t₂=0,02 с I_у= -100/10= -10 А. За на­чало отсчета при использовании уравнения (1) необходимо брать вре­мя t=0. Как следует из первого закона коммутации, значение A опре­делится при подстановке в уравнение (1) значения тока, равного току конца предыдущего участка u(t):

6,33 = -10 + А;   A=16,ЗЗА; i=-10 + 16.33e^-t/0.01.                      (2)

При t=0,01 с (по графику t₂=0,02 с)

 i= -10 +16.33e^-1; i= -10+ 16,33/2,72 = -4 А.

Действуя на участке от t₂=0,02 с до t₃=0,03 с аналогичным об­разом, как и на участке от t₁=0,01с до  t₂ =0,02 с, получим:

I_у = 100/10= 10 А;   -4= 10 +A;   A = - 14 А;

i = 10 - 14е^-t/0.01 .                                                                                 (3)
При t=0,01 с (по графику t₃=0.03 с)

i= 10 - 14e^-1 = 10 -14/2,72 = 4,85 А.

На участке от t₃=0,03с до t₄=0,04 с

I_y = -100/10 = -10 А;

4,85 = -10 + A;   A=14,85 A

i = -10 + 14,85е^-t/0.01.                                                                            (4)
При t=0,01 с (по графику t₄=0,04 с)

i = -10 + 14,85/2,72 = -4,55 А.

     Значения времени для точек А, Б, В графика i(t), В которых ток равен нулю, определяются из уравнений (2) - (4).
Точка А:

 0 = -10 + 16,33е^-t/0.01; 1/e^t/0.01 = 10/16.33; e^t/0.01 = 16.33/10;

откуда t=0,0049 с или по графику

     t_A =0,01+t = 0,01+0,0049 = 0,0149 с.

Точка Б:

0=10 - 14e^-t/0.01;

t=0,00337 с или пo графику t_Б = 6,62+0,00337=0,02337 с.

Точка B:

    0 = -10 + 14,85е^-t/0.01;

t = 0,00395 с или по графику t_В=0,03+0,00395 = 0,03395 с.