Конспекты лекций

 (1-й курс, 2-й семестр)

Модуль 1 — «Неопределенные и определенные интегралы»

pdf  Лекция 1 . Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов.

pdf  Лекция 2 . Интегрирование подстановкой и заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

pdf  Лекция 3 . Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших (без д-ва). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей. 

pdf  Лекция 4 . Интегрирование выражений, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

pdf  Лекции 5-6 . Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывной функции (без д-ва). Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении. 

pdf  Лекция 7 . Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат. 

Модуль 2 — «Приложения определенного интеграла»

pdf  Лекция 8 . Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода). Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf  Лекции 9-10 . Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями. 

pdf  Лекция 11 . Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрическии и в полярных координатах. 

pdf  Лекции 12-13 . Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения. Метод Симпсона приближенного вычисления определенного интеграла.

Модуль 3 — «ОДУ первого порядка»

pdf  Лекция 14 . Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение первого порядка, его решения. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Понятие частной производной функции нескольких переменных. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании решения дифференциального уравнения. 

pdf  Лекция 15 . Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, Бернулли. 

pdf  Лекция 16 . Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Геометрическое решение дифференциальных уравнений с помощью изоклин. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения первого порядка. 

pdf  Лекция 17 . Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация (n=2). Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов дифференциальных уравнений n-го порядка.

Модуль 4 — «ОДУ высших порядков»

pdf  Лекции 18-19 . Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения. Дифференциальный оператор L[y], его свойства. Линейное пространство решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейная зависимость и независимость системы функций на промежутке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. Размерность пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля и ее следствия. Понижение порядка однородного линейного уравнения (при известном частном решении). 

pdf  Лекции 20-21 . Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для n=2). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации постоянных (вывод для n=2). Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. 

pdf  Лекция 22 . Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство и фазовые траектории. Задача и теорема Коши. Частные и общее решения. Сведение дифференциального уравнения высшего порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение нормальной системы к дифференциальному уравнению высшего порядка (вывод для n=2). Первые интегралы системы. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Интегрируемые комбинации. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений.

pdf  Лекция 23 . Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных. 

pdf  Лекция 24 . Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных корней).