Конспект лекций

для студентов 1-го курса всех специальностей,
кроме ФН, ИБМ, ГУИМЦ, ИУ7, ИУ9, РК6, АКФ3.

авторы А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Это расширенный вариант лекций, читаемых студентам большинства специальностей в МГТУ имени Н.Э. Баумана. Дополнительный материал, включенный в этот вариант, представлен теми вопросами, которые вынесены на самостоятельное изучение и в аудитории, как правило, не рассматриваются. Кроме того, увеличено количество примеров решения типовых задач, что, на наш взгляд, также будет полезным при изучении курса (но при этом не отменяет семинарские занятия).

В начале каждой лекции приведено краткое содержание, которое почти дословно совпадает с календарным планом по курсу (расхождения в основном вызваны разделением материала на отдельные лекции).

pdf  Лекция 1. Линейные пространства.   Аксиомы и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Критерий линейной зависимости, его следствия. Определение базиса и размерности линейного пространства. Теоремы о базисе и размерности (без док-ва). Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в базисе. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. 

pdf  Лекция 2. Линейные подпространства. Евклидовы пространства.  Подпространства линейного пространства. Ранг системы векторов, связь с рангом матрицы. Линейная оболочка. Примеры. Евклидово пространство, аксиомы и примеры. Норма вектора. Неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника. Ортогональность векторов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства Выражение координат вектора в ортонормированном базисе. Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортонормированном базисе.

pdf  Лекция 3. Процесс ортогонализации. Линейные операторы и их матрицы.  Теорема о его существовании ортонормированного базиса и процесс ортогонализации Грама — Шмидта (без док-ва). Линейные операторы и их матрицы (определение, примеры). Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ее определителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 

pdf  Лекция 4. Характеристический многочлен и собственные значения.  Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от базиса. След матрицы линейного оператора и его инвариантность. Характеристический многочлен и собственные значения матрицы. Свойство множества собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, связь между ними (без док-ва). Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов. Критерий существования такого базиса (без док-ва). Существование базиса из собственных векторов в случае действительных и некратных корней характеристического уравнения. 

pdf  Лекция 5. Линейные операторы в евклидовых пространствах.  Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе. Свойства корней характеристического многочлена самосопряженного оператора: вещественность и равенство алгебраических и геометрических кратностей (без док-ва). Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора (док-во для случая различных собственных значений). Ортогональные преобразования, ортогональные матрицы и их свойства. Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.

pdf  Лекция 6. Квадратичные формы и их свойства.  Квадратичные формы. Координатная и матричная формы записи. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (без док-ва) Квадратичные формы канонического вида. Метод Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм (без док-ва). 

pdf  Лекция 7. Канонический вид кривых и поверхностей второго порядка.  Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду. 

pdf  Лекция 8. Функции нескольких переменных как отображения.  Метрика и окрестности в Rⁿ. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в Rⁿ. Граница множества. Понятие области в Rⁿ. Скалярная функция нескольких переменных (ФНП) как отображение F: Ω→R (Ω⊆Rⁿ). Линии и поверхности уровня. Предел ФНП. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве. Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).

pdf  Лекция 9. Дифференцируемые функции нескольких переменных.  Частные производные ФНП, геометрическая интерпретация для n=2. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия и достаточное условие дифференцируемости.

pdf  Лекция 10. Дифференциал.  Полный дифференциал ФНП. Производная сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для ФНП (без док-ва). Применение дифференциала ФНП к приближенным вычислениям.

pdf  Лекция 11. Неявные функции. Градиент.  Неявные функции. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявной ФНП. Производная ФНП по направлению и градиент, их свойства. 

pdf  Лекция 12. Геометрические приложения.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности, условия их существования и вывод уравнений. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

pdf  Лекция 13. Экстремум функции нескольких переменных.  Экстремум ФНП. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе, без док-ва).

pdf  Лекция 14. Условный экстремум.  Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при n=2), функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума (вывод для n=2). Достаточные условия (без док-ва). Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП на замкнутом ограниченном множестве.

pdf  Лекция 15. Векторные функции нескольких переменных.  Векторная ФНП (ВФНП) как отображение F: Ω→R^m (Ω⊆Rⁿ).. Координатные функции ВФНП. Геометрическая интерпретация для n, m = 2, 3. Предел ВФНП. Непрерывность ВФНП.

pdf  Лекция 16. Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных.  Матрица Якоби ВФНП, якобиан (при n=m). Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал. Производная сложной ВФНП в матричной форме. Теорема о неявной функции в общем случае. Теорема об обратной функции.