- Подробности
- Категория: Серия учебников "Математика в техническом университете"
Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Изложены элементы теории интегральных преобразований. Рассмотрены основные классы интегральных преобразований, играющие важную роль в решении задач математической физики, электротехники, радиотехники. Теоретический материал проиллюстрирован большим числом примеров. Отдельный раздел посвящен операционному исчислению, имеющему важное прикладное значение.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов и вузов, аспирантов и научных сотрудников, использующих аналитические методы в исследовании математических моделей.
Содержание
| Предисловие | ||
| Введение | ||
| 1. | Цилиндрические функции | |
| 1.1. | Уравнение Бесселя | |
| 1.2. | Цилиндрические функции I рода (функции Бесселя) | |
| 1.3. | Цилиндрические функции II рода | |
| 1.4. | Цилиндрические функции III рода | |
| 1.5. | Модифицированные цилиндрические функции | |
| 1.6. | Контрольные вопросы и упражнения | |
| 2. | Задача Штурма - Лиувилля | |
| 2.1. | Постановка задачи | |
| 2.2. | Линейные дифференциальные операторы 2-го порядка | |
| 2.3. | Обращение оператора Штурма - Лиувилля | |
| 2.4. | Контрольные вопросы и упражнения | |
| 3. | Сингулярная задача Штурма - Лиувилля | |
| 3.1. | О постановке задачи | |
| 3.2. | Собственные функции сингулярной задачи | |
| 3.3. | Разложение по собственным функциям | |
| 3.4. | Граничные условия для сингулярного конца | |
| 3.5. | Двусторонняя сингулярная задача | |
| 3.6. | Контрольные вопросы и упражнения | |
| 4. | Разложения по функциям Бесселя | |
| 4.1. |
Разложение на промежутке [a, + ) |
|
| 4.2. | Разложение на промежутке (0, a] | |
| 4.3. |
Разложение на промежутке (0, +) |
|
| 5. | Интегральные преобразования | |
| 5.1. | Общие положения | |
| 5.2. | Интегральное преобразование для линейного дифференциального оператора 2-го порядка | |
| 5.3. | Интегральное преобразование на отрезке | |
| 5.4. | Интегральное преобразование на полуограниченном или неограниченном интервале | |
| 5.5. | Основные интегральные преобразования на неограниченных интервалах | |
| 5.6. | Применение интегральных преобразований на примере некоторых задач математической физики | |
| 5.7. | Контрольные вопросы и упражнения | |
| 6. | Операционное исчисление | |
| 6.1. | Преобразование Лапласа | |
| 6.2. | Основные теоремы операционного исчисления | |
| 6.3. | Изображения элементарных функций-оригиналов | |
| 6.4. | Теоремы разложения | |
| 6.5. | Приложения операционного исчисления | |
| 6.6. | Контрольные вопросы и упражнения | |
| Приложения | ||
| 1. | Гамма-функция Эйлера | |
| 2. | Интеграл Римана - Стильтьеса | |
| 3. | Основные правила операционного исчисления | |
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||
- Подробности
- Категория: Серия учебников "Математика в техническом университете"
Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга является одним из выпусков (модулей) полного курса математики в техническом университете.
Рассмотрены различные постановки задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных и основные аналитические методы их решения, проанализированы свойства полученных решений. Изложено большое число линейных и нелинейных задач, к решению которых приводит исследование математических моделей различных процессов в физике, химии, биологии, экологии и др. Учебник прошёл успешную апробацию в МГТУ им. Н.Э.Баумана.
Для студентов и аспирантов высших учебных заведений, а также для инженеров и научных работников, работающих в области прикладной математики и математического моделирования.
Содержание
| Предисловие | ||
| Список основных обозначений | ||
| Введение | ||
| Раздел I. Основные уравнения математической физики | ||
| 1. | Уравнения гиперболического типа | |
| 1.1. | Уравнение колебаний струны | |
| 1.2. | Задача Коши для гиперболического уравнения | |
| 1.3. | Обобщенные решения | |
| 1.4. | Колебания полуограниченной струны | |
| 1.5. | Краевые задачи для гиперболического уравнения | |
| 1.6. | Краевые задачи для неоднородного уравнения | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| 2. | Уравнения параболического типа | |
| 2.1. | Одномерный нестациорнарный процесс распространения теплоты | |
| 2.2. | Краевые задачи для уравнения теплопроводности | |
| 2.3. | Свойства решений краевых задач для уравнения теплопроводности | |
| 2.4. | Неоднородное уравнение теплопроводности | |
| 2.5. | Задача Коши для уравнения теплопроводности | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| 3. | Уравнения эллиптического типа | |
| 3.1. | Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа | |
| 3.2. | Фундаментальные решения уравнения Лапласа | |
| 3.3. | Интегральная формула Грина | |
| 3.4. | Свойства объемного потенциала | |
| 3.5. | Свойства гармонических функций | |
| 3.6. | Краевые задачи для уравнения Лапласа | |
| 3.7. | Метод функций Грина | |
| 3.8. | Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом разделения переменных | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| Раздел II. Линейные модели математической физики | ||
| 4. | Уравнения Пуассона и Лапласа как математические модели | |
| электростатических полей | ||
| 4.1. | Применение конформного отображения | |
| для решения задач электростатики | ||
| 4.2. | Мультипольное разложение потенциала | |
| 4.3. | Расчет поля электростатического подвеса | |
| 4.4. | Электрическое поле в плазме | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| 5. | Математическое моделирование диффузионных процессов переноса | |
| 5.1. | Моделирование диффузионных процессов переноса в движущихся средах | |
| 5.2. | Краевые задачи остывания нагретых тел | |
| 5.3. | Распространение теплоты в неограниченном пространстве | |
| 5.4. | Диффузионный процесс в активной среде с размножением | |
| 5.5. | Задача экологического прогнозирования | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| 6. | Волновое уравнение для акустических и электромагнитных волн | |
| 6.1. | Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны | |
| 6.2. | Колебания прямоугольной мембраны | |
| 6.3. | Колебания круглой мембраны | |
| 6.4. | Волновое уравнение для электромагнитных волн | |
| 6.5. | Потенциалы электромагнитного поля | |
| 6.6. | Электромагнитное излучение дипольного осциллятора | |
| 6.7. | Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| 7. | Уравнение Шредингера для описания квантовых состояний частиц | |
| 7.1. | Волновая функция | |
| 7.2. | Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике | |
| 7.3. | Квантовые состояния атома водорода | |
| 7.4. | Операторы физических величин в квантовой механике | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| Раздел III. Нелинейные модели математической физики | ||
| 8. | Нелинейные модели диффузионных процессов переноса | |
| 8.1. | Теория нелинейной теплопроводности | |
| 8.2. | Задача Стефана о фазовом переходе | |
| 8.3. | Распространение тепловых возмущений в нелинейных средах | |
| 8.4. | Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением | |
| 8.5. | Уравнения типа "реакция - диффузия" | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| 9. | Нелинейные уравнения волновых процессов | |
| 9.1. | Уравнение Колмогорова - Петровского - Пискунова | |
| 9.2. | Уравнение Бюргерса | |
| 9.3. | Уравнение Кортевега - де Фриза | |
| 9.4. | Многосолитонные решения уравнения Кортевега - де Фриза | |
| Контрольные вопросы и задачи | ||
| Приложение 1. Дельта-функция и ее свойства | ||
| Приложение 2. Задача Штурма - Лиувилля | ||
| Приложение 3. Методы теории размерности и подобия | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||
- Подробности
- Категория: Серия учебников "Математика в техническом университете"
Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга является тринадцатым выпуском серии учебников «Математика в техническом университете». Последовательно изложены математические модели физических процессов, элементы прикладного функционального анализа и приближенные аналитические методы решения задач математической физики, а также широко применяемые в научных исследованиях и инженерной практике численные методы конечных разностей, конечных и граничных элементов. Рассмотрены примеры использования этих методов в прикладных задачах.
Содержание учебника соответствует курсам лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
Содержание
| Предисловие | ||
| Основные обозначения | ||
| Часть I. Математические модели физических процессов | ||
| 1. | Основные физические субстанции | |
| 1.1. | Особенности постановки задач математической физики | |
| 1.2. | Плотность физических субстанций | |
| 1.3. | Перенос физических субстанций | |
| Д.1.1. | Некоторые формулы векторного анализа | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Законы сохранения физических субстанций | |
| 2.1. | Закон сохранения массы | |
| 2.2. | Дивергентная форма уравнения неразрывности | |
| 2.3. | Законы сохранения электрического заряда и тепловой энергии | |
| 2.4. | Закон сохранения количества движения | |
| Д.2.1. | Формулы векторного анализа в случае неоднородной среды | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Математические модели некоторых сред | |
| 3.1. | Модели идеальной жидкости (газа) | |
| 3.2. | Модели вязкой жидкости | |
| 3.3. | Упругое твердое тело | |
| 3.4. | Уравнение переноса энергии в среде | |
| 3.5. | Уравнения Максвелла | |
| 3.6. | Электромагнитные процессы в медленно движущейся среде | |
| Д.3.1. | Поверхности разрыва в электромагнитном поле | |
| Д.3.2. | Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями | |
| Вопросы и задачи | ||
| Часть II. Элементы функционального анализа | ||
| и приближенные аналитические методы | ||
| 4. | Операторы в нормированных пространствах | |
| 4.1. | Нормированные пространства | |
| 4.2. | Операторы в нормированных пространствах | |
| 4.3. | Линейные операторы | |
| 4.4. | Линейные ограниченные функционалы | |
| 4.5. | Нормированное пространство линейных операторов | |
| 4.6. | Спектр линейного оператора | |
| 4.7. | Пополнение нормированного пространства | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Операторы в гильбертовых пространствах | |
| 5.1. | Гильбертово пространство | |
| 5.2. | Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве | |
| 5.3. | Энергетическое пространство | |
| 5.4. | Однородное операторное уравнение | |
| 5.5. | Уравнения с вполне непрерывными симметрическими операторами | |
| Д.5.1. | Сопряженные пространства и сопряженные операторы | |
| Д.5.2. | Критерий базисности системы функций | |
| Д.5.3. | Положительная определенность эллиптического оператора | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Приближенные аналитические методы | |
| 6.1. | Общая схема построения приближенных методов | |
| 6.2. | Погрешности приближенных методов | |
| 6.3. | Метод малого параметра | |
| 6.4. | Общий случай метода малого параметра | |
| 6.5. | Метод ортогональных проекций | |
| 6.6. | Коллокации в подобластях и в точках | |
| 6.7. | Метод наименьших квадратов | |
| 6.8. | Методы Бубнова - Галеркина и Ритца | |
| 6.9. | Задачи на собственные значения | |
| 6.10. | Особенности выбора базисных функций | |
| Д.6.1. | Проекционный метод | |
| Вопросы и задачи | ||
| Часть III. Сеточные методы | ||
| 7. | Основы метода конечных разностей | |
| 7.1. | Понятие о сеточных методах | |
| 7.2. | Аппроксимация производных конечными разностями | |
| 7.3. | Метод баланса | |
| 7.4. | Пример простейшей разностной схемы | |
| Вопросы и задачи | ||
| 8. | Одномерные краевые задачи | |
| 8.1. | Разностные схемы стационарных задач | |
| 8.2. | Задача Штурма - Лиувилля | |
| 8.3. | Нестационарная задача теплопроводности | |
| 8.4. | Некоторые динамические задачи | |
| Д.8.1. | Модификации метода прогонки | |
| Вопросы и задачи | ||
| 9. | Многомерные задачи | |
| 9.1. | Особенности решения многомерных задач | |
| 9.2. | Двумерная и трехмерная задачи теплопроводности | |
| 9.3. | Различные многомерные задачи | |
| Д.9.1. | Алгоритмы матричной и ортогональной прогонок | |
| Вопросы и задачи | ||
| Часть IV. Методы конечных и граничных элементов | ||
| 10. Основы метода конечных элементов | ||
| 10.1. | Одномерная краевая задача | |
| 10.2. | Типы конечных элементов | |
| 10.3. | Матричная форма представления функций | |
| Вопросы и задачи | ||
| 11. Прикладные задачи | ||
| 11.1. | Особенности применения метода конечных элементов | |
| 11.2. | Задачи теплопроводности в твердом теле | |
| 11.3. | Двумерное течение вязкой жидкости | |
| 11.4. | Задачи теории упругости | |
| 11.5. | Электромагнитное поле в цилиндрическом волноводе | |
| Вопросы и задачи | ||
| 12. Введение в метод граничных элементов | ||
| 12.1. | Граничные интегральные уравнения | |
| 12.2. | Способы аппроксимации функций на границе | |
| 12.3. | Учет анизотропии и неоднородности | |
| 12.4. | Нестационарные задачи | |
| 12.5. | Статическая задача теории упругости | |
| 12.6. | Сравнение методов граничных и конечных элементов | |
| Д.12.1. | Особенности решения осесимметричных задач | |
| Вопросы и задачи | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||
- Подробности
- Категория: Серия учебников "Математика в техническом университете"
Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга посвящена одному из важнейших направлений подготовки выпускника технического университета - математической теории оптимизации. Рассмотрены теоретические, вычислительные и прикладные аспекты методов конечномерной оптимизации. Много внимания уделено описанию алгоритмов численного решения задач безусловной минимизации функций одного и нескольких переменных, изложены методы условной оптимизации. Приведены примеры решения конкретных задач, дана наглядная интерпретация полученных результатов, что будет способствовать выработке у студентов практических навыков применения методов оптимизации.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.
Содержание
| Предисловие | ||
| Основные обозначения | ||
| 1. | Задачи оптимизации | |
| 1.1. | Основные понятия | |
| 1.2. | Некоторые простые примеры | |
| 1.3. | Задачи оптимального проектирования | |
| 1.4. | Задачи оптимального планирования | |
| 1.5. | Классы задач оптимизации | |
| Вопросы и задачи | ||
| 2. | Методы одномерной минимизации | |
| 2.1. | Предварительные замечания | |
| 2.2. | Пассивный и последовательный поиск | |
| 2.3. | Оптимальный пассивный поиск | |
| 2.4. | Методы последовательного поиска | |
| 2.5. | Сравнение методов последовательного поиска | |
| 2.6. | Методы полиномиальной аппроксимации | |
| 2.7. | Методы, использующие производные | |
| Вопросы и задачи | ||
| 3. | Минимизация выпуклых функций | |
| 3.1. | Выпуклые множества | |
| 3.2. | Выпуклые функции | |
| 3.3. | Дифференцируемые выпуклые функции | |
| 3.4. | Условия минимума выпуклых функций | |
| 3.5. | Сильно выпуклые функции | |
| 3.6. | Примеры минимизации квадратичных функций | |
| 3.7. | Целевая функция в виде позинома | |
| Д.3.1. | Минимизация одномерного позинома | |
| Вопросы и задачи | ||
| 4. | Численные методы безусловной минимизации | |
| 4.1. | Релаксационная последовательность | |
| 4.2. | Методы спуска | |
| 4.3. | Метод градиентного спуска | |
| 4.4. | Минимизация квадратичной функции | |
| 4.5. | Сопряженные направления спуска | |
| Вопросы и задачи | ||
| 5. | Алгоритмы методов первого и второго порядков | |
| 5.1. | Алгоритмы метода градиентного спуска | |
| 5.2. | Метод сопряженных направлений | |
| 5.3. | Метод Ньютона | |
| 5.4. | Модификации метода Ньютона | |
| 5.5. | Квазиньютоновские методы | |
| Вопросы и задачи | ||
| 6. | Алгоритмы прямого поиска | |
| 6.1. | Особенности прямого поиска минимума | |
| 6.2. | Использование регулярного симплекса | |
| 6.3. | Поиск при помощи нерегулярного симплекса | |
| 6.4. | Циклический покоординатный спуск | |
| 6.5. | Методы Хука - Дживса, Розенброка и Пауэлла | |
| Вопросы и задачи | ||
| 7. | Аналитические методы нелинейного программирования | |
| 7.1. | Минимизация целевой функции на заданном множестве | |
| 7.2. | Минимизация при ограничениях типа равенства | |
| 7.3. | Достаточное условие условного локального минимума | |
| 7.4. | Минимум квадратичной формы при линейных ограничениях типа равенства | |
| 7.5. | Общая задача нелинейного программирования | |
| 7.6. | Седловая точка функции Лагранжа | |
| 7.7. | Двойственная функция | |
| 7.8. | Геометрическое программирование | |
| Вопросы и задачи | ||
| 8. | Численные методы нелинейного программирования | |
| 8.1. | Метод условного градиента | |
| 8.2. | Использование приведенного градиента | |
| 8.3. | Проектирование точки на множество | |
| 8.4. | Метод проекции точки на множество | |
| 8.5. | Метод проекции антиградиента | |
| 8.6. | Другие методы проектирования | |
| 8.7. | Метод возможных направлений | |
| 8.8. | Методы последовательной безусловной минимизации | |
| Д.8.1. | О случайном поиске | |
| Д.8.2. | О решении задач линейного программирования | |
| Д.8.3. | Обращение матрицы при замене или вычеркивании столбца | |
| Вопросы и задачи | ||
| Список рекомендуемой литературы | ||
| Предметный указатель | ||
- Подробности
- Категория: Серия учебников "Математика в техническом университете"
Перейти к списку | Аннотация | Содержание
Аннотация
Книга посвящена одному из важнейших разделов программы математической подготовки современного инженера - выпускника технического университета. Наряду с изложением основ классического вариационного исчисления и элементов теории оптимального управления в учебнике рассмотрены прямые методы вариационного исчисления и методы преобразования вариационных задач, приводящие, в частности, к двойственным вариационным принципам.
Книгу завершают примеры из физики, механики и техники, в которых показана эффективность методов вариационного исчисления и оптимального управления для решения прикладных задач.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов и аспирантов технических университетов, а также для инженеров и научных работников, специализирующихся в области прикладной математики и математического моделирования.
Содержание
| Предисловие | |||
| Основные обозначения | |||
| Часть I. Классическое вариационное исчисление | |||
| 1. | Основные понятия | ||
| 1.1. | Задачи, приводящие к вариационным проблемам | ||
| 1.2. | Основные определения | ||
| 1.3. | Основные леммы вариационного исчисления | ||
| 1.4. | Некоторые замечания о задачах вариационного исчисления | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 2. | Вариационные задачи с фиксированными границами | ||
| 2.1. | Простейшая задача вариационного исчисления | ||
| 2.2. | Функционалы от нескольких функций | ||
| 2.3. | Функционалы с производными высшего порядка | ||
| 2.4. | Функционалы от функций многих переменных | ||
| 2.5. | Канонический вид уравнений Эйлера | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 3. | Вариационные задачи с подвижными границами | ||
| 3.1. | Задача с подвижными концами | ||
| 3.2. | Задача с подвижными границами | ||
| 3.3. | Экстремали с угловыми точками | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 4. | Задачи на условный экстремум | ||
| 4.1. | Основные типы задач на условный экстремум | ||
| 4.2. | Необходимые условия в задаче Лагранжа | ||
| 4.3. | Необходимые условия в изопериметрической задаче | ||
| 4.4. | Некоторые примеры | ||
| 4.5. | Принцип взаимности в изопериметрических задачах | ||
| 4.6. | Задача Больца и задача Майера | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 5. | Достаточные условия экстремума | ||
| 5.1. | Слабый экстремум | ||
| 5.2. | Условие Якоби | ||
| 5.3. | Инвариантный интеграл Гильберта | ||
| 5.4. | Сильный экстремум | ||
| Вопросы и задачи | |||
| Часть II. Оптимальное управление | |||
| 6. | Вариационные методы в оптимальном управлении | ||
| 6.1. | Постановка задачи оптимального управления | ||
| 6.2. | Задача Лагранжа в форме Понтрягина | ||
| 6.3. | Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении | ||
| 6.4. | Линейные задачи оптимального управления | ||
| 6.5. | Обсуждение методов вариационного исчисления | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 7. | Принцип максимума | ||
| 7.1. | Автономная система управления. Формулировка принципа максимума | ||
| 7.2. | Обсуждение принципа максимума | ||
| 7.3. | Задача быстродействия | ||
| 7.4. | Линейная задача оптимального быстродействия | ||
| 7.5. | Задача синтеза управления | ||
| 7.6. | Задача с подвижными концами | ||
| 7.7. | Неавтономные системы | ||
| 7.8. | Понятие особого управления | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 8. | Метод динамического программирования | ||
| 8.1. | Принцип оптимальности | ||
| 8.2. | Уравнение Беллмана | ||
| 8.3. | Уравнение Беллмана в задаче быстродействия | ||
| 8.4. | Связь метода динамического программирования с принципом максимума | ||
| Д.8.1. | Оптимальная стабилизация | ||
| Вопросы и задачи | |||
| Часть III. Прямые методы вариационного исчисления | |||
| 9. | Формулировка вариационных задач | ||
| 9.1. | Операторное уравнение | ||
| 9.2. | Вариационное уравнение | ||
| 9.3. | Примеры построения функционала по вариационному уравнению | ||
| 9.4. | Исследование выпуклости функционала | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 10. Методы решения вариационных задач | |||
| 10.1. | Минимизирующие последовательности | ||
| 10.2. | Методы приближенного решения вариационных задач | ||
| 10.3. | Собственные значения симметрического оператора | ||
| 10.4. | Приближенное решение задачи на собственные значения | ||
| Вопросы и задачи | |||
| 11. Двойственные вариационные задачи | |||
| 11.1. | Альтернативные функционалы | ||
| 11.2. | Построение альтернативного функционала | ||
| 11.3. | Оценка погрешности приближенного решения | ||
| Вопросы и задачи | |||
| Часть IV. Приложения вариационных методов | |||
| 12. Принцип Гамильтона | |||
| 13. Колебания струны | |||
| 14. Колебания мембраны | |||
| 15. Уравнения движения идеальной жидкости | |||
| 16. Аэродинамическая задача Ньютона | |||
| 17. Вопросы устойчивости конструкций | |||
| 18. Вариационные принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно | |||
| 19. Вариационные принципы термоупругости | |||
| 20. Двусторонние оценки в теплопроводности | |||
| Список рекомендуемой литературы | |||
| Предметный указатель | |||